Bất đẳng thức (khó)

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $a,b,c$ thõa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:

$abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)\ge0$

2. Cho $x,y,z>0$ thõa mãn $\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{x+z}=6$

Chứng minh: $\dfrac{1}{3x+3y+2z}+\dfrac{1}{3x+2y+3z}+\dfrac{1}{2x+3y+3z}\le\dfrac{3}{2}$

 

[eye_smile]

1,Từ gt \Rightarrow $-1 \le a;b;c \le 1$

\Rightarrow $(a+1)(b+1)(c+1)=abc+a+b+c+ab+bc+ca+1 \ge 0$

$ab+bc+ca+a+b+c+1=\dfrac{1}{2}(a+b+c+1)^2 \ge 0$

Cộng theo vế \Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

2,$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+ \dfrac{1}{x+z} \ge \dfrac{16}{3x+3y+2z}$

$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}+ \dfrac{1}{x+z} \ge \dfrac{16}{3x+2y+3z}$

$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{z+y}+\dfrac{1}{y+z}+ \dfrac{1}{x+z} \ge \dfrac{16}{2x+3y+3z}$

\Rightarrow $VT \le \dfrac{1}{16}.4(\dfrac{1}{x+y}+ \dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x})=\dfrac{3}{2}$