Bất đẳng thức khó

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho a,b,c,d>0. C/m $\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}<2$.

 

[transformers123]

ta có:
$VT=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}$
$\iff VT < \dfrac{a+d}{a+b+c+d}+\dfrac{a+b}{a+b+c+d}+\dfrac{b+c}{a+b+c+d}+\dfrac{c+d}{a+b+c+d}$
$\iff VT < \dfrac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}$
$\iff VT < 2\ (\mathfrak{dpcm})$

 

[pinkylun]

ta có:

$A=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{a+b+d}$

do a,b,c,d >0
nên:

$\dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a}{a+c}$

$\dfrac{b}{b+c+d}<\dfrac{b}{d+b}$

$\dfrac{c}{c+d+a}<\dfrac{c}{a+c}$

$\dfrac{d}{a+b+d}<\dfrac{d}{b+d}$

=>$A<\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{d+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{d}{b+d}$

=>$A<2$