bất đẳng thức khó

[songoku112]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. cho a,b,c>0 và a+b+c=6
tìm max của Q=[TEX]\frac{a+1}{a+2}[/TEX] + [TEX]\frac{b+2}{b+3}[/TEX] + [TEX]\frac{c+3}{c+4}[/TEX]
2,cho a,b,c>0.chứng minh các bất đẳng thức sau
a,[TEX]\frac{2b^2+c^2}{a^2+2bc}[/TEX] + [TEX]\frac{2c^2+a^2}{b^2+2ac}[/TEX] + [TEX]\frac{2a^2+b^2}{c^2+2ab}[/TEX] \geq 3
b,
[TEX]\sqrt{\frac{a}{b+c}}[/TEX] +[TEX]\sqrt{\frac{b}{a+c}[/TEX] + [TEX]\sqrt{\frac{c}{a+b}[/TEX] >2
giúp mình luôn nha mình đang cần gấp thanks

 

[vipboycodon]

b.Áp dụng bdt cô - si ta có :
$a+(b+c) \ge 2\sqrt{a(b+c)}$
<=> $\dfrac{1}{\sqrt{a(b+c)}} \ge \dfrac{2}{a+b+c}$
<=> $\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}} \ge \dfrac{2a}{a+b+c}$
<=> $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}} \ge \dfrac{2a}{a+b+c}$
tương tự : $\sqrt{\dfrac{b}{a+c}} \ge \dfrac{2b}{a+b+c}$
$\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \ge \dfrac{2c}{a+b+c}$
Lấy vế cộng vế ta có :
$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \ge \dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c} = 2$
Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases} a = b+c \\ b = a+c \\ c = a+b \end{cases}$ <=> $a = b = c = 0$ (vô lí)
Vậy dấu "=" không xảy ra nên ta được đpcm.

 

[vipboycodon]

Bài 1 :
$Q = \dfrac{a+1}{a+2}+\dfrac{b+2}{b+3}+\dfrac{c+3}{c+4} = 1-\dfrac{1}{a+2}+1-\dfrac{1}{b+3}+1-\dfrac{1}{c+4} = 3-(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+3}+\dfrac{1}{c+4})$.
Theo bất đẳng thức cauchy schwarz ta có : $\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+3}+\dfrac{1}{c+4} \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a+2+b+3+c+4} = \dfrac{3}{5}$
=> $Q = 3-(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+3}+\dfrac{1}{c+4}) \le \dfrac{12}{5}$
Vậy max $Q = \dfrac{12}{5}$ khi $a = 3$ , $b = 2$ , $c = 1$.

 

[eye_smile]

2b. Cách nhanh hơn:
AD AM-GM, được:
$\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$ \leq $(\dfrac{b+c}{a}+1):2=\dfrac{a+b+c}{2a}$
\Rightarrow $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}$ \geq $\dfrac{2a}{a+b+c}$
TT, làm tiếp như bạn vipboycodon

 

[congchuaanhsang]

2a, VT = $\dfrac{c^2}{a^2+2bc} + \dfrac{a^2}{b^2+2ac}+\dfrac{b^2}{c^2+2ab}+2(\dfrac{b^2}{a^2+2bc}+\dfrac{c^2}{b^2+2ac}+\dfrac{a^2}{c^2+2ab})$

TheoCauchy-Schwarz:

VT\geq$\dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}+2\dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}$=3