bất đẳng thức khó

[pelinhjoitoan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c =1 .Cm ;
[TEX]\frac{ab}{c+1} + \frac{bc}{a+1} + \frac{ca}{b+1 } \leq \frac{1}{4} [/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

[TEX]\frac{ab}{c+1} + \frac{bc}{a+1} + \frac{ca}{b+1 } [/TEX]

[TEX]=\frac{ab}{(a+c)+(b+c)}+\frac{bc}{(a+b)+(a+c)}+ \frac{ca}{(b+c)+(b+a)}[/TEX]

\leq[TEX]\frac{ab}{4}(\frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+c})+\frac{bc}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})+\frac{ca}{4}(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a})[/TEX]

\leq[TEX]\frac{1}{4}(\frac{ab+bc}{c+a}+ \frac{ab+ac}{b+c}+ \frac{bc+ac}{a+b})=\frac{1}{4}[/TEX]

''=''[TEX] \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]