bất đẳng thức khó

[870407]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]a^3 + b^3 = 2[/TEX]
CMR:a+b \leq 2
dg can gap lam, giup minh voi

 

[thienlong_cuong]

có :

a^3 + b^3 = (a+b) ( a^2 - ab + b^2 )
\Rightarrow (a+b)(a^2 - ab + b^2 ) = 2

Mà ta có :
a^2 + b^2 - ab \geq1 với mọi a;b khác 0
=> a+b \leq 2

 

[bigbang195]

có :

a^3 + b^3 = (a+b) ( a^2 - ab + b^2 )
\Rightarrow (a+b)(a^2 - ab + b^2 ) = 2

Mà ta có :
a^2 + b^2 - ab \geq1 với mọi a;b khác 0
=> a+b \leq 2

Tức là em chỉ chứng minh được với a,b khác 0 thôi chứ gì ) .

 

[nganltt_lc]

có :

a^3 + b^3 = (a+b) ( a^2 - ab + b^2 )
\Rightarrow (a+b)(a^2 - ab + b^2 ) = 2

Mà ta có :
a^2 + b^2 - ab \geq1 với mọi a;b khác 0
=> a+b \leq 2

[TEX]{a}^{3}+{b}^{3}=\left(a+b \right)\left({a}^{2}-ab+{b}^{2} \right) = 2[/TEX] (1)
Vì: [TEX]{a}^{2}-ab+{b}^{2}={a}^{2}-2a.\frac{1}{2}b+\frac{1}{4}{b}^{2}+\frac{3}{4}{b}^{2}[/TEX]
=[TEX]{\left( a-\frac{1}{2}b\right)}^{2}+\frac{3}{4}{b}^{2}[/TEX]
Ta thấy: [TEX]{\left( a-\frac{1}{2}b\right)}^{2}\geq 0 [/TEX] với mọi a và b thuộc R
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX] {\left( a-\frac{1}{2}b\right)}^{2}+\frac{3}{4}{b}^{2}\geq \frac{3}{4}{b}^{2}>0[/TEX] (2) với mọi a và b thuộc R
Từ (1) và (2) suy ra: [TEX]a+b\leq 2[/TEX].(điều cần chứng minh).

Bài này em chỉ cần ghi với mọi a và b thuộc R thôi,không cần phải khác 0.

 

[quyenuy0241]

[TEX]{a}^{3}+{b}^{3}=\left(a+b \right)\left({a}^{2}-ab+{b}^{2} \right) = 2[/TEX] (1)
Vì: [TEX]{a}^{2}-ab+{b}^{2}={a}^{2}-2a.\frac{1}{2}b+\frac{1}{4}{b}^{2}+\frac{3}{4}{b}^{2}[/TEX]
=[TEX]{\left( a-\frac{1}{2}b\right)}^{2}+\frac{3}{4}{b}^{2}[/TEX]
Ta thấy: [TEX]{\left( a-\frac{1}{2}b\right)}^{2}\geq 0 [/TEX] với mọi a và b thuộc R
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX] {\left( a-\frac{1}{2}b\right)}^{2}+\frac{3}{4}{b}^{2}\geq \frac{3}{4}{b}^{2}>0[/TEX] (2) với mọi a và b thuộc R
Từ (1) và (2) suy ra: [TEX]a+b\leq 2[/TEX].(điều cần chứng minh).

Bài này em chỉ cần ghi với mọi a và b thuộc R thôi,không cần phải khác 0.

Có thể làm như sau.

[tex]a^2-ab+b^2= \frac{1}{4}(a+b)^2+\frac{3(a-b)^2}{4} \ge \frac{(a+b)^2}{4} [/tex]

[tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \ge \frac{(a+b)^3}{4} \Rightarrow a+b \le 2[/tex]