bất đẳng thức khó

[iamzero2009]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z là các số thực thuộc (0;1].Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\leq \frac{5}{x+y+z}[/TEX]
các bạn xem giải giùm với.=((=((=((=((=((=((=((=((=((=((=((

 

[rua_it]

cho x,y,z là các số thực thuộc (0;1].Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\leq \frac{5}{x+y+z}[/TEX]
các bạn xem giải giùm với.=((=((=((=((=((=((=((=((=((=((=((

[tex]\mathrm{\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{1+xy}.(x+y+z) \leq 5 [/tex]

[tex]\mathrm{LHS:= \sum_{cyc} \frac{1}{1+xy}.(x+y+z)=\sum_{cyclic} \frac{z}{1+xy}+\sum_{cyc} \frac{x+y}{1+xy} \leq \sum_{cyclic} \frac{z}{1+xy}+3[/tex]

[tex]\mathrm{Do:\(gt) \ \Rightarrow x,y,z \in\ (0;1] \Rightarrow (1-x)(1-y) \geq 0 \Rightarrow 1+xy \geq x+y[/tex]

Vậy ta cần chứng minh [tex] \ \mathrm{\sum_{cyc} \frac{z}{1+xy} \leq 2[/tex]

[tex]\mathrm{\left{\begin{1 \geq x \geq y \geq z >0}\\{\frac{1}{1+xy} \geq \frac{1}{1+xz} \geq \frac{1}{1+yz}[/tex]

[tex]\mathrm{\rightarrow \sum_{cyc} \frac{x}{1+yz} \leq \frac{\sum_{cyc} x}{xy+1} \leq_{gt} \frac{1+xy+1}{xy+1} \leq 2[/tex]

 

[iamzero2009]

[tex]\mathrm{\left{\begin{1 \geq x \geq y \geq z >0}\\{\frac{1}{1+xy} \geq \frac{1}{1+xz} \geq \frac{1}{1+yz}[/tex]

Anh thử giải thích chỗ này giúp e với.E đoán chỗ đó là anh giả sử,nhưng đã có
[tex]1 \geq x \geq y \geq z >0[/tex]
thì làm gì có
[TEX]\frac{1}{1+xy} \geq \frac{1}{1+xz} \geq \frac{1}{1+yz}[/TEX]
Anh có thể chỉ ra dấu ''='' ở BĐT thứ này được ko?

 

[iamzero2009]

thêm nữa

Các anh giải giúp em nốt bài BĐT này nữa:
Cho a,b,c là ba cạnh tam giác.Chứng minh:
[TEX]a(\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3a+c}+\frac{2}{2a+b+c})+\frac{b}{3a+c}+\frac{c}{3a+b}<2[/TEX]