bất đẳng thức khó quá

[baoden2012]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm GTNN của
[TEX]P = \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}[/TEX]
với x, y, z không âm thỏa mãn [TEX]x^2+y^2+z^2 = 1[/TEX]
2. Cho a, b, c, dương thỏa mãn
[TEX]a^2+b^2+c^2+abc = 4[/TEX]
chứng minh rằng [TEX]a+b+c \leq 3[/TEX]

 

[truongduong9083]

Câu 1

ta có
[TEX]P^2 =\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}+2x^2+2y^2+2z^2[/TEX]
mà
[TEX]\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2} \geq 2y^2[/TEX]
[TEX]\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}\geq 2x^2 [/TEX]
[TEX]\frac{y^2z^2}{x^2}+ \frac{z^2x^2}{y^2} \geq 2z^2[/TEX]
Cộng 3 bất đẳng thức lại ta được
[TEX]\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2} \geq x^2+y^2+z^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P^2 \geq 3(x^2+y^2+z^2) = 9[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \geq 3[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1

 

[mrvui123]

BĐT 2 chính là BĐT Iran MO 2002
Bổ đề: Với a, b, c là các số dương ta có: [TEX]a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)[/TEX](1)
Chứng minh: Theo nguyên lý Dirchlet thì có 2 trong 3 bộ số sau cùng dấu (a-1), (b-1), (c-1)
Giả sử đó là a-1 và b-1
Ta có [TEX](a-1)(b-1)\ge0[/TEX]
[TEX](1)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1-2(ab+bc+ca)\ge0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(c-1)\ge0[/TEX](đúng)
Vậy bổ đề được chứng minh
Quay lại với BĐT cần chứng minh
Ta có: [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+(a^2+b^2+c^2+2abc+1)=9[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\le9[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a+b+c\le3[/TEX]
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=1
Chẳng lẽ đây là BĐT thi ĐH

 

[vy000]

BĐT 2 chính là BĐT Iran MO 2002

Chẳng lẽ đây là BĐT thi ĐH

cái này trong đề kt tháng lớp e anh ạ,lần ấy ko làm được,giờ quên luôn
thanks anh

 

[hthtb22]

Em có một bài bđt

Cho a, b, c>0 thoả mãn a+b+c+abc=4

CMR :a+b+c \geq ab+bc+ca

 

[mrvui123]

Em có một bài bđt

Cho a, b, c>0 thoả mãn a+b+c+abc=4

CMR :a+b+c \geq ab+bc+ca

Có chắc không em, anh thử với bộ số khác (1,1,1) thì BĐT sai @-)

 

[nhokpq_ine]

Em có một bài bđt

Cho a, b, c>0 thoả mãn a+b+c+abc=4

CMR :a+b+c \geq ab+bc+ca

Giả sử : [TEX](a-1)(b-1) \ge 0[/TEX] (Dirichlet)

[TEX]\Leftrightarrow ab+1 \ge a+b[/TEX]
Biến đổi giả thiết:

[TEX]4=a+b+c(1+ab) \ge a+b+c(a+b)=(a+b)(c+1)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ab(c+1) \le \frac{4ab}{a+b} \le_{AM-GM} a+b[/TEX]
Bất đẳng thức cần chững minh tương đương với:

[TEX]4-abc \ge ab+bc+ca[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ab(c+1)+c(a+b) \le 4[/TEX]
Ta có:

[TEX]VT=ab(c+1)+c(a+b) \le (a+b)+c(a+b)=(a+b)(c+1) \le 4[/TEX]
Điều này đúng vì ta vừa mới biến đổi từ giả thiết!
Bài toán được chứng minh xong./

Có chắc không em, anh thử với bộ số khác (1,1,1) thì BĐT sai @-)

Bài này dấu bằng không tại (1,1,1) đâu em ^^!