Bất Đẳng Thức>>>>Khó đấy....

D

daihoacuc

CMR
a^b + b^a >1 , với a, b thuộc R


Nếu a>=1 hoặc b>=1 thì bdt hiển nhiên đúng
Bây giờ xét trường hợp a<1, b<1
Do a,b<1 nên 1/a >1, 1/b >1
Đặt
m=[1/a] +1 >1/a
n=[1/b] +1 >1/b (ở đây [x] là phần nguyên của x)
=> a>1/m , b>1/n , m,n là các số tự nhiên ( thuộc N)
Theo tính chất của hàm mũ ta có
a^b + b^a > (1/m)^(1/n) + (1/n)^(1/m)
=1/(căn bặc n của m) + 1/(căn bậc m của n) (thông cảm cho tớ nha :) )
bây giờ do m,n là các số tự nhên nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi
Căn bậc n của m= cb n của (m.1.1.....1) (n-1 số 1) <(m+1+1+.....+1)/n =
=(m+n-1)/n
=> 1/ căn bậc n của m > n/(m+n-1)
Tương tự 1/ căn bậc m của n > m/(m+n-1)
Cộng vế với vế ta đi đến
a^b +b^a > (m+n)/(m+n-1) >1
Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn

Nếu thấy khó nhìn quá thì bạn chép lại ra giấy nhé, mình không có phần mềm hỗ trợ viết công thức toán :D
 
D

dadaohocbai

HỜ hờ!!VỪa coi được cái BDT Becnuli:(1+x)^a > 1+ax
Tự giải nhé tớ lỡ xem đáp án rồi :)):))
 
K

kachia_17

Này ông dadao, tui thử cách này rùi nhưng hok ra. Ông làm giúp lun đi , tiện có sách ji` vậy?
 
K

kachia_17

333333

daihoacuc said:
CMR
a^b + b^a >1 , với a, b thuộc R


Nếu a>=1 hoặc b>=1 thì bdt hiển nhiên đúng
Bây giờ xét trường hợp a<1, b<1
Do a,b<1 nên 1/a >1, 1/b >1
Đặt
m=[1/a] +1 >1/a
n=[1/b] +1 >1/b (ở đây [x] là phần nguyên của x)
=> a>1/m , b>1/n , m,n là các số tự nhiên ( thuộc N)
Theo tính chất của hàm mũ ta có
a^b + b^a > (1/m)^(1/n) + (1/n)^(1/m)
=1/(căn bặc n của m) + 1/(căn bậc m của n) (thông cảm cho tớ nha :) )
bây giờ do m,n là các số tự nhên nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi
Căn bậc n của m= cb n của (m.1.1.....1) (n-1 số 1) <(m+1+1+.....+1)/n =
=(m+n-1)/n
=> 1/ căn bậc n của m > n/(m+n-1)
Tương tự 1/ căn bậc m của n > m/(m+n-1)
Cộng vế với vế ta đi đến
a^b +b^a > (m+n)/(m+n-1) >1
Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn

Nếu thấy khó nhìn quá thì bạn chép lại ra giấy nhé, mình không có phần mềm hỗ trợ viết công thức toán :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Thank bạn nhìu nha, chờ mình coi kĩ đã.
 
N

nguyenminh44

Mình thấy ý tưởng của daihoacuc cũng khá hay, nhưng mình thấy có chỗ vẫn chưa ổn

Theo tính chất của hàm mũ thì với a>1/m, b>1/n không thể suy ra
a^b + b^a > (1/m)^(1/n) + (1/n)^(1/m)
vì a,b,1/m,1/n <1 ( hàm a^x nghịch biến khi a<1)

Vẫn dựa trên ý tưởng dùng phần nguyên và bất đẳng thức Cauchy của daihoacuc mình sửa lại như sau

Đặt m1=[1/a], m2=m1+1 => m1< 1/a <m2 =>1/m2 < a <1/m1 (không phải m bình đâu nha)
n1=[1/b], n2=n1+1 => 1/n2 < b < 1/n1
Bây giờ ta có
a^b + b^a > (1/m2)^(1/n1) + (1/n2)^(1/m1)=
=1/(căn bậc n1 của m2) + 1/(căn bậc m1 của n2)
> n1/(m2 +n1 -1) + m1/(n2 + m1 -1) ( Cauchy giống như của daihoacuc)
=n1/(m1 + n1) + m1/(m1 + n1) = 1.
Các bạn xem và cho ý kiến nhé
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom