bất đẳng thức khó 10

[khanhly981]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho mình hỏi mấy câu BĐT với:
1/ cho a,b,c>0 ,a+b+c=6.CMR
[TEX](1+\frac{1}{a^3})*(1+\frac{1}{b^3})*(1+\frac{1}{c^3})\geq \frac{729}{512}[/TEX]

2/ [TEX](1+\frac{1}{a})*(1+\frac{1}{b})*(1+\frac{1}{c}) \geq 2*(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}[/TEX] voi a,b,c>0
3/cho a,b,c >0 .cm
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2



cảm ơn nhiêu

 

[tieubaobinh_98]

vt=(1+[TEX]\frac{a}{b+c}[/TEX]) +(1+[TEX]\frac{b}{a+c}[/TEX])+(1+[TEX]\frac{c}{b+a}[/TEX])-3=(a+b+c)([TEX]\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}[/TEX]
\geq (a+b+c).[TEX]\frac{9}{2(a+b+c)}[/TEX]
\geq [TEX]\frac{9}{2}[/TEX]
\Rightarrow VT\geq [TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

 

[congchuaanhsang]

3, Đây là bđt Nesbitt:

Áp dụng Cauchy-Schwarz có:


$VT=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ba+bc}+\dfrac{c^2}{ca+cb}$

\geq $\dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$ \geq $\dfrac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}$

\Leftrightarrow $VT$ \geq $\dfrac{3}{2}=VP$

 

[riverflowsinyou1]

3/cho a,b,c >0 .
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2
Cho $S$ là biểu thức trên .
$M=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}$
$P=\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}$
\Rightarrow $M+P=3$, theo Cauchy $M+S$ \geq 3 , $P+S$ \geq3
\Rightarrow $M+P+S.2=3+S.2$ \geq $6$ \Rightarrow $S$ \geq $\frac{3}{2}$

 

[qanhdragon21998]

1/Câu này dễ mà:
[tex]1+\frac{1}{a^{3}} \geq \frac{9}{\sqrt[9]{8^{8}a^{3}}} [/tex] (bđt Cô-si)
=>[tex]VT \geq \frac{729}{\sqrt[9]{8^{24}a^{3}b^{3}c^{3}}}=\frac{729}{\sqrt[3]{8^{8}abc}} [/tex]
Mà [tex] a+b+c=6[/tex] nên [tex] abc \leq 8 [/tex]
=>[tex] VT \geq \frac{729}{\sqrt[3]{8^{8}.8}}=VP [/tex]
Xong!

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:
Phương pháp UTC

Tử mẫu mỗi phân thức đồng bậc nhất nên BDT trên là thuần nhất, chuẩn hóa $a+b+c=3$.

BDT trở thành: $\dfrac{a}{3-a}+\dfrac{b}{3-b}+\dfrac{c}{3-c}\ge \dfrac{3}{2}\;\;(1)$

Giờ ta sẽ tìm hệ số $k$ sao cho:
$\dfrac{x}{3-x} \ge \dfrac{1}{2}+k(x-1)$ với $x\in (0;3)$

Chuyển vế: $\dfrac{3(x-1)}{2(3-x)} \ge k(x-1)$

Điểm rơi tại $x=1$ nên ta dự đoán $k=\dfrac{3}{4}$, thế vào và chứng minh ngược lại thì BDT đúng.

Thế vào $VT(1) \ge \dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4}(a+b+c-3)=\dfrac{3}{2} \;\;\mathfrak{(dpcm)}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$