Cho Tam Giác ABC ; M là điểm trong tam giác , đặt anpha = góc BMC ; beta = góc CMA ; gamma = góc AMB . CMR : " NA . sin ( anpha ) + NB . sin ( beta) + NC . sin ( gamma) \geq MA . sin (anpha) + MB . sin (beta) + MC . sin ( gamma)
Qua A,B,C vẽ lần lượt ba đường thẳng tương ứng vuông góc với IA, IB, IC. Ba đường này cắt nhau tại X, Y,Z
gọi R là bk của đg tròn ngoại tiếp tam giác Xyz khi ấy theo định lí hàm số sin ta có
[tex] sin X= \frac{YZ}{2R}, sin Y= \frac{XZ}{2R} ,sin Z= \frac{YX}{2R}[/tex]
do X+ anpha=180^0, Y+ beta =180 độ, Z+ gamma= 180 độ
=> sin anpha=[tex] \frac{YZ}{2R} [/tex], sin bêta=[tex]\frac{XZ}{2R}[/tex], sin gamma=[tex]\frac{YX}{2R}[/tex]
bất đẳng thức trở thành
[tex] MA.YZ+MB.XZ+MC.XY \geq IA.YZ+IB.ZX+IC.XY (1)[/tex]
Có 2 trường hợp
1. M nằm trong tam giác XYZ. ta có
[tex]IA.YZ+IB.ZX+IC.XY=2(S_{IYZ}+S_{IXZ}+S_{IYX})=2 S_{XYZ} (2)[/tex]
gỌI h1,h2,h3 là kc lần lượt từ M xuống YZ,XZ, và XY ta có theo t/c của dg vuông góc
[tex] MA\geq h1, MB\geq h2, MC \geq h3 (3)[/tex]
[tex]=> MA.YZ+MB.ZX+MC.XY \geq h1.YZ+h2.Xz+h3. XY[/tex]
hay [tex]MA.YZ+MB.ZX+MC.XY \geq 2( S_{MYZ}+S_{MXZ}+S_{MYX})=2 S_{XYZ} (4)[/tex]
TỪ 2 VÀ 3 [tex]=> MA.YZ+MB.ZX+MC.XY \geq IA.YZ+IB.ZX+IC.XY[/tex]
VẬY 1 ĐÚNG.. Dấu bằng trong 1 xảy ra khi \Leftrightarrow đồng thời có dấu bằng sảy ra trong 3 \Leftrightarrow M trùng I
2. M nằm ngoài tam giác XYZ. ta có
lập luận như trên, ta vẫn có
[tex] MA.YZ+MB.ZX+MC.XY \geq 2(S_{MYZ}+S_{MXZ}+S_{MYX})(4)[/tex]
TA CÓ
[tex]( S_{MYZ}+S_{MXZ}+S_{MYX}) > S_{ZYX}(5)[/tex]
TỪ 2,4 VÀ 5 =>
[tex]mA.YZ+MB.ZX+MC.XY> IA.YZ+IB.ZX+IC.XY[/tex]
vậy 1 cũng đúng và dấu bằng ko sảy ra
tóm lại bđt cho là đúng và dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi M trùng I
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn