bất đẳng thức hoán vị

L

locxoaymgk

da_dangminh said:
Ai giúp em bài này với, nhìn có vẻ dễ nhưng làm mãi k ra :(
Cho a,b,c>0 và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]
Chứng minh : [TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cho vậy thì bó tay !
Hình như đề bài nó cho [TEX]a+b+c=3[/TEX] ấy chứ.
Nếu [TEX]a+b+c=3 [/TEX]thì áp dụng dạng mở rộng của BDT bunhiacopxki ta có:
[TEX] \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c=3.[/TEX]
Dấu = xảy ra khi ...
KQ trùng với yêu cầu đề bài.
Vậy theo mình nghĩ thì[TEX] a+b+c=3[/TEX] chứ?.
 
D

da_dangminh

bài đó ông thầy cho :( đề nguyên văn là vậy đó. thiệt tình là vận dụng hết tinh hoa vào rồi mà vẫn k ra :-?? còn nếu chỉ vận dụng bcs dạng engel như trên thì tự mình cũng đã làm được rồi :-s
 
B

bboy114crew

da_dangminh said:
Ai giúp em bài này với, nhìn có vẻ dễ nhưng làm mãi k ra :(
Cho a,b,c>0 và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]
Chứng minh : [TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

locxoaymgk said:


Cho vậy thì bó tay !
Hình như đề bài nó cho [TEX]a+b+c=3[/TEX] ấy chứ.
Nếu [TEX]a+b+c=3 [/TEX]thì áp dụng dạng mở rộng của BDT bunhiacopxki ta có:
[TEX] \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c=3.[/TEX]
Dấu = xảy ra khi ...
KQ trùng với yêu cầu đề bài.
Vậy theo mình nghĩ thì[TEX] a+b+c=3[/TEX] chứ?.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
BDT trên cho mạnh hơn cái a+b+c=3 thôi mà!
Mình làm ở đây ùi!
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=173108
 
L

locxoaymgk

bboy114crew said:
BDT trên cho mạnh hơn cái a+b+c=3 thôi mà!
Mình làm ở đây ùi!
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=173108
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
chuyengiatoanhoc said:
cho a,b,c>0 thoả mãn ab+bc+ca = abc
CMR: [TEX]\frac{b}{a^2} + \frac{c}{b^2}+ \frac{a}{c^2 }\geq 3(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2})[/TEX]
:(( khó qúa :((
~~>đề như vầy à
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
bboy114crew said:
TA có:
[TEX]ab+bc+ca = abc \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/TEX]
đặt [TEX]\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z[/TEX]
Khi đó:
[TEX]x+y+z=1[/TEX]
BDT cần CM tương đương với:
[TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq 3(x^2+y^2+z^2)[/TEX]
Ta lại có:
[TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}(Cauchy -chwarz)[/TEX]
Ta sẽ CM:
[TEX]\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x} \geq 3(x^2+y^2+z^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2) \geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)[/TEX]
Đúng theo AM-GM!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Her :D:D:D.
Ta có:
latex.php
( CMR)
Mà theo BNA ta có:
[TEX] \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2}=9/3=3.[/TEX]

\Rightarrow
latex.php
 
D

da_dangminh

mình nghĩ bạn sai sót khi áp dụng kết quả của bài kia vào. Tại vì giả thiết của 2 bài k giống nhau. Bài mà bạn giải ở topic kia nếu để ý kỹ thì dấu bằng xảy ra khi a=b=c=3. Trong khi ở bài của mình thì dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 :D
 
B

bboy114crew

Cám ơn bạn đã góp ý!
Đúng là mình đã hơi vội vàng kết luận bài toán!
Mọi người tiếp tục suy nghĩ đi nào!
 
D

da_dangminh

àh thôi có lời giải đây rồi :D

ta có [TEX]\frac{2a^2}{b}+a^2b^2\geq3a^2[/TEX]
lập 2 đánh giá tương tự rồi cộng vế theo vế, ta có :
[TEX]2(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geq3(a^2+b^2+c^2)-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq3.3-\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}=6[/TEX]

=> đpcm
 
L

luckystudent97

Giải:
Giả sử a\geqb\geqc>0.Ta có:
\frac{1}{a}\leq\frac{1}{b}\leq\frac{1}{c}
Sau đó giải tiếp thôi đơn giản mà.Tớ đang bận chút việc.
 
T

themoonwolf1997

Như vầy nhé!
(a.a)/b + b >= 2a
(b.b)/c + c >= 2b
(c.c)/a + b >= 2c
Cộng vế theo vế ta được
VT + (a+b+c) >= 2(a+b+c)
=> VT >= a+b+c
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom