Bất đẳng thức hình học(mọi người cùng thảo luận)

[bboy114crew]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

M“nh thấy trên HMđặc biệt là 4rum cấp 2 toàn là BĐT đại số và rất ít BDDT h“nh học nên m“nh muốn lập một topic để mọi người cùng nhau thảo luận về dạng BĐT hay này , cùng nhau nâng cao kiến thức BĐT!
Mong mọi người ủng hộ và giúp đỡ để topic không rơi vào quên lãng!
Sau đây là một số bài toán mở đầu!
Bài 1:
Cho tứ giác lồi ABCD với M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.Gọi giao điểm của CM và DN là E, BM giao AN tại F.
CMR:
[tex]\frac{AF}{FN} + \frac{BF}{FM} + \frac{CE}{EM} + \frac{DE}{EN} \geq 4[/tex]
Bài 2:
Kí hiệu [tex]m_a;m_b;m_c[/tex] là độ dài các đường trung tuyến tương ứng với các cạnh a,b,c của tam giác ABC.CMR:
a)[tex] \frac{a}{m_a} + \frac{b}{m_b} + \frac{c}{m_c} \geq 2\sqrt{3}[/tex]
b)[tex]\frac{m_a}{a} + \frac{m_b}{b} + \frac{m_c}{c} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex]
Bài 3:Cho tam giác ABC , M là trung điẻm của cạnh BC .CMR nếu [tex]r;r_1;r_2[/tex] là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác tương ứng ABC,ABM,ACM th“:
[tex]\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \geq 2(\frac{1}{r} + \frac{2}{a})[/tex] với BC=a.
Bài 3:
Ttrong tam giác ABC [tex]m_a;m_b;m_c[/tex] là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉng A,B,C và [tex]r_a;r_b;r_c[/tex] theo thứ tự là bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với các góc có đỉnh A,B,C .CMR:
[tex]m_a^2+m_b^2+m_c^2 \leq r_a^2+r_b^2+r_c^2 [/tex]
Bài 4:
Cho tam giác ABC với BC=a;AC=b;AB=b. Gọi r và [tex] r_a;r_b;r_c[/tex] theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các và bàng tiếp của góc A,B,C của tam giác đó.CMR:
[tex] \frac{abc}{r} \geq \frac{a^3}{r_a} + \frac{b^3}{r_b} + \frac{c^3}{r_c}[/tex]
Bài 5 Cho [tex]ABC[/tex] có [tex]S = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)[/tex]
CMR : [tex]ABC[/tex] đều .
BÀI 6: Cho tam giác [tex]ABC[/tex]. CMR [tex]\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{2Rr}}[/tex]
r: Bán kính trong; R: Bán kính ngoài
Tài liệu tham khảo

 

[bananamiss]

Bài 5 Cho [tex]ABC[/tex] có [tex]S = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)[/tex]
CMR : [tex]ABC[/tex] đều .

[TEX]\tex{ truoc tien, ta chung minh S \leq \frac{p^2}{3\sqrt{3}} ( voi p la nua chu vi ) (*)\\ that vay : \Leftrightarrow S^2 \leq \frac{p^4}{27} \\ ap dung cong thuc herong \Rightarrow p(p-a)(p-b)(p-c) \leq \frac{p^4}{27} \\ \\ \Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{16} \leq \frac{(a+b+c)^4}{27} \\ \\ \Leftrightarrow (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \leq \frac{(a+b+c)^3}{27} \\ nhung su dung cosi, ta de dang cm dc : \left{\begin{(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \leq abc }\\{abc \leq (\frac{a+b+c}{3})^3[/TEX]

[TEX]\tex{ ket hop tat ca \Rightarrow (*) dung va "=" \Leftrightarrow a=b=c[/TEX]

[TEX]\tex{ta lai co : (a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2) \Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{3} \leq a^2+b^2+c^2 \\ \Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{3\sqrt{3}.4} \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{3}.4 [/TEX]



[TEX]\tex{ \Leftrightarrow \frac{1}{3\sqrt{3}}.(\frac{a+b+c}{4})^2 \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{3}.4} [/TEX]



[TEX]\tex{ \Leftrightarrow \frac{p^2}{3\sqrt{3}} \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{3}.4} va "=" \Leftrightarrow a=b=c(**)[/TEX]

[TEX]\tex{ ket hop (*) va (**) \Rightarrow S \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{12}} \Leftrightarrow VT \leq VP \Rightarrow ...\Rightarrow OK...![/TEX]

 

[asroma11235]

zz

Bài 2:a)Ta có: [TEX]ma^2=2(b^2+c^2)-a^2[/TEX]\Rightarrow [TEX](2ma)^2 +(a\sqrt[]{3})^2 =2(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2.2ma.a\sqrt[]{3} \leq 2(a^2+b^2+c^2) [/TEX] (BDT Cauchy)
\Rightarrow [TEX]\frac{a}{ma} \geq \frac{2a^2\sqrt[]{3}}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow [TEX] ma= \frac{a\sqrt[]{3}}{2}[/TEX]
chứng minh tương tự dc: [TEX] \frac{b}{mb} \geq \frac{2b^2\sqrt[]{3}}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
[TEX] \frac{c}{mc} \geq \frac{2c^2\sqrt[]{3}}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX] \frac{a}{ma}[/TEX]+[TEX]\frac{b}{mb}[/TEX] +[TEX]\frac{c}{mc}[/TEX] \geq [TEX]2\sqrt[]{3}[/TEX]
dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow [TEX]\frac{a}{ma}=\frac{b}{mb}=\frac{c}{mc}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}[/TEX] \Leftrightarrow tam giác ABC đều.) (đpcm)

Tui giải không bik có đúng không các bạn kiểm tra lại nhé vì tui làm zội



b)Từ [TEX]2ma.a\sqrt[]{3} \leq a^2+b^2+c^2[/TEX](câu a)
\Rightarrow [TEX]\frac{ma}{a} \geq \frac{2ma^2\sqrt[]{3}}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
Chứng minh tương tự:
[TEX]\frac{mb}{b} \geq \frac{2mb^2\sqrt[]{3}}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
[TEX]\frac{mc}{c} \geq \frac{2mc^2\sqrt[]{3}}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{ma}{a}+\frac{mb}{b}+\frac{mc}{c} \geq \frac{(ma^2+mb^2+mc^2)2\sqrt[]{3}}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{3\sqrt[]{3}}{2}[/TEX]
(Vì [TEX]ma^2+mb^2+mc^2 \geq \frac{3}{4}[/TEX][TEX](a^2+b^2+c^2)[/TEX] )
Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow tam giác ABC đều. (đpcm)


(~~)(~~) :Mhi:

http://www.youtube.com/watch?v=yrLHPdZf-t8&NR=1

 

[bboy114crew]

Mình làm bài 3 cho mọi người tham khảo và cũng là để làm nóng topic !
Ta có:
[tex]S_{ABM} = S_{ACM} = \frac{1}{2}S_{ABC}[/tex]
Mặt khác:[tex]AM \geq h [/tex], với h là đường cao của tam giác ABC.
[tex] \Rightarrow \frac{4}{a} = \frac{2h}{S_{ABC}} \leq \frac{2AM}{S_{ABC}} = \frac{AM}{S_{ABM}}(1)[/tex]
[tex] \frac{2}{r} = \frac{a+b+c}{S_{ABC}} (2)[/tex]
Từ (1) và (2) suy ra:
[tex] \frac{4}{a} +\frac{2}{r} \leq \frac{AM+\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}}{S_{ABM}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \Leftrightarrow \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \geq 2(\frac{1}{r} + \frac{2}{a})[/tex],ĐPCM!

 

[ngocphuong_dk96]

mọi người làm bài này hộ tui nha
Bài 1:Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC(B,C là tiếp điểm ).Trên cung nhỏ BC lấy I,qua I vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB,AC tại E,F. Đường trẳng BC cắt OE và OF tại H và K.Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB,AC tại M,N.
a)C/m:[TEX]ME.NF=\frac{MN^2}{4}[/TEX]
b)C/m:[TEX]S_\Delta_A_M_N \geq 2R^2[/TEX]
c)C/m [TEX]\frac{HK}{EF}[/TEX] không đổi khi I chuyển động trên cung nhỏ BC
Bài 2:Cho [TEX]\Delta ABC[/TEX] vuông tại A (BC=a,AC=b,AB=c),vẽ đường tròn (O;r)nội tiếp [TEX]\Delta ABC[/TEX].Gọi E,F,K là tiếp điểm của (O;r) với AB,AC,BC.Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC tại M và N
a)C/m:[TEX]S_ABC=KB.KC b)C/m: BM.CN = [TEX]\frac{MN^2}{4}[/TEX]
c)Vẽ đường cao AH=h .C/m [TEX]\frac{h}{r} \leq \sqrt{2}+1[/TEX]

 

[vuphucquy]

tui cũng góp bài vào cho thêm sôi động nha

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (o) bk5cm.Các pg AE,BF cắt tại I.TiaIEcắt (0)tại M
a)cm :Góc AEB=Góc ACM
b)Nếu tg IECF nội tiếp thì góc BCA bằng 60 độ
c)Tính MC biết ME=2cm,AE=2.5cm
d)g/s tam giác ABC đều .Tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài tứ giác ABMC