Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB.Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ 2 tia Ox,Oy vuông goc với nhau. Trên Ox , Oy lấy M,N không trùng với O. Chứng minh AM+BN [tex]\geq[/tex] MN
Em tự vẽ hình nhé.
Góc vuông xOy luôn nằm trong 1 nửa mặt phẳng bờ AB.
Vì A và B luôn nằm ngoài góc vuông xOy nên ta gọi I là điểm đối xứng với A qua tia Ox.
Khi đó I sẽ nằm trong góc vuông xOy và Ox là trung trực của AI nên tam giác OIA cân tại O nên OI = OA.
Do O là trung điểm của AB nên cũng suy ra OI = OA = OB. Nên tam giác OIB cũng cân tại O. Vậy suy ra tam giác IAB vuông tại I vì trung tuyến = nửa cạnh đối diện. Mà do Oy // IA vì cùng vuông góc với Ox, nên suy ra Oy cũng vuông góc với IB, vậy đường cao Oy cũng là trung tuyến trong tam giác cân OIB.
Từ đó suy ra I và B cũng đối xứng với nhau qua Oy.
Vì vậy ta sẽ có: MA = MI và NB = NI.
Suy ra: AM + BN = IM + IN. Và tất nhiên vì I, M, N là 3 điểm bất kì nên luôn có IM + IN >= MN. Suy ra đpcm.
Dấu = xảy ra khi I, M, N thẳng hàng và I nằm giữa M và N, khi đó MA // NB.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
