Bất đẳng thức hay

[xnzt99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0 và xyz=1. Chứng minh: (x+$\frac{1}{y}$-1)(y+$\frac{1}{z}$-1)(z+$\frac{1}{x}$-1)<=1.

 

[eye_smile]

$[(x+\dfrac{1}{y}-1)(y+\dfrac{1}{z}-1)(z+\dfrac{1}{x}-1)]^2 \le yx^2.zy^2.xz^2=1$

+3 số đều dương \Rightarrow đpcm

+1 trong 3 sô =0 \Rightarrow đpcm

+Có 1 số âm \Rightarrow 2 số còn lại dương \Rightarrow đpcm

 

[xnzt99]

$[(x+\dfrac{1}{y}-1)(y+\dfrac{1}{z}-1)(z+\dfrac{1}{x}-1)]^2 \le ba^2.cb^2.ac^2=1$

+3 số đều dương \Rightarrow đpcm

+1 trong 3 sô =0 \Rightarrow đpcm

+Có 1 số âm \Rightarrow 2 số còn lại dương \Rightarrow đpcm

Bạn có thể giải thích mình rõ hơn được không? Không hiểu cho lắm

 

[eye_smile]

Đoạn đầu thì như sau nhé bạn

$(x+\dfrac{1}{y}-1)(z+\dfrac{1}{x}-1)=x(1+z-\dfrac{1}{x})(z+\dfrac{1}{x}-1)=x[z^2-(1-\dfrac{1}{x})^2] \le xz^2$

Tương tự với 2 cái còn lại rồi nhân theo vế.

Đoạn sau thì:

+TH1:2 BT trong bình phương đều dương nên khai căn \Rightarrow đpcm

+TH2:1 trong 3 số =0 thì bđt \Leftrightarrow $0 \le 1$ (đúng)

+TH3:Gỉa sử có 1 số âm là $x+\dfrac{1}{y}-1<0$

\Leftrightarrow $y(x-1)+1<0$

\Rightarrow x<1

\Rightarrow 2 số còn lại dương \Rightarrow VT âm \Rightarrow đpcm