bất đẳng thức hay

[lehuyenthanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh [TEX]\frac{a^3}{a+bc}[/TEX] + [TEX]\frac{b^3}{b+ca}[/TEX] + [TEX]\frac{c^3}{c+ab}[/TEX] \geq [TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

 

[tranvanhung7997]

$P = \dfrac{a^3}{a + bc} + \dfrac{b^3}{b + ca} + \dfrac{c^3}{c + ab}$

Áp dụng BĐT Cô Si: $ \dfrac{a^3}{a + bc} + \dfrac{a + bc}{4} + \dfrac{1}{2} \ge 3\sqrt[3]{ \dfrac{a^3}{8}} = \dfrac{3a}{2}$
Tương tự => $ \dfrac{b^3}{b + ca} + \dfrac{b + ca}{4} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{3b}{2}$
$ \dfrac{c^3}{c + ab} + \dfrac{c + ab}{4} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{3c}{2}$

Cộng theo vế 3 BĐT trên., ta được:
$P + \dfrac{a + bc}{4} + \dfrac{b + ca}{4} + \dfrac{c + ab}{4} + \dfrac{3}{2} \ge \dfrac{3a}{2} + \dfrac{3b}{2} + \dfrac{3c}{2}$
<=> $P \ge \dfrac{5(a + b + c)}{4} - \dfrac{ab + bc + ca}{4} - \dfrac{3}{2}$
Ta có BĐT $ab + bc + ca \le \dfrac{(a + b + c)^2}{3}$
=> $P \ge \dfrac{5(a + b + c)}{4} - \dfrac{\dfrac{(a + b + c)^2}{3}}{4} - \dfrac{3}{2}$
=> $P \ge \dfrac{5.3}{4} - \dfrac{\dfrac{3^2}{3}}{4} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$
Dấu = có <=> $a = b = c = 1$

 

[phamhoanghtcx]

cái này thì mình làm qua rồi.ns chung làm cách ở trên là nhanh nhất đó.m