bất đẳng thức hay!!!

[colen_pink]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x>1,y>1
cmr [TEX]\frac{x^3+y^3-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}\geq8[/TEX]

 

[huutho2408]

Chào bạn

x,y>1
[tex]\frac{x^3+y^3-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}\geq 8[/tex]

ta có [tex]\frac{x^3+y^3-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}\geq 8 (1) [/tex]


đặt [tex]x+y=S [/tex](s>2)


[tex]xy=P [/tex]

ta có (1) trở thành [tex]\frac{S^3-3PS-S^2+2P}{P-S+1}\geq 8 [/tex]


nên [tex]F=S^3-3PS-S^2-6P+8S-8 \geq 0 (2) [/tex]


MÀ [tex]S^2 \geq 4P [/tex]


nên bpt trở thành [tex]F\geq f(S)=\frac{S^3}{4}-\frac{5S^2}{2}+8S-8 [/tex]


xét hs [tex]f(S)=\frac{S^3}{4}-\frac{5S^2}{2}+8S-8 [/tex]


[tex]f'(S)=\frac{3S^2}{4}-5S+8 [/tex] với (S>2)


từ BBT ta có [tex]f(S)\geq f(4)=0 [/tex] (đpcm)

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Bài này có cách đơn giản hơn nhé
Đặt $a = x - 1; b = y - 1 \Rightarrow x = a+1 ; y = b+1$ với $a, b > 0$
Bất đẳng thức viết lại thành:
$$\dfrac{(a+1)^2a+(b+1)^2b}{ab} \geq 8$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{a^3+b^3+2(a^2+b^2)+a+b}{ab} \geq 8 (1)$$
Nhận xét:
1. $\dfrac{a^3+b^3+a+b}{ab} \geq \dfrac{4\sqrt[4]{a^4b^4}}{ab} = 4 $
2. $\dfrac{2(a^2+b^2)}{ab} \geq \dfrac{4ab}{ab} = 4$
Như vậy BĐT (1) đúng
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = 1 \Rightarrow x = y = 2$ nhé

 

[colen_pink]

ta có [tex]\frac{x^3+y^3-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}\geq 8 (1) [/tex]


đặt [tex]x+y=S [/tex](s>2)


[tex]xy=P [/tex]

ta có (1) trở thành [tex]\frac{S^3-3PS-S^2+2P}{P-S+1}\geq 8 [/tex]


nên [tex]F=S^3-3PS-S^2-6P+8S-8 \geq 0 (2) [/tex]


MÀ [tex]S^2 \geq 4P [/tex]


nên bpt trở thành [tex]F\geq f(S)=\frac{S^3}{4}-\frac{5S^2}{2}+8S-8 [/tex]


xét hs [tex]f(S)=\frac{S^3}{4}-\frac{5S^2}{2}+8S-8 [/tex]


[tex]f'(S)=\frac{3S^2}{4}-5S+8 [/tex] với (S>2)


từ BBT ta có [tex]f(S)\geq f(4)=0 [/tex] (đpcm)

mình mới vào 10 nên chưa biết cách giải kiểu hàm bạn ah!

 

[colen_pink]

Bài này có cách đơn giản hơn nhé
Đặt $a = x - 1; b = y - 1 \Rightarrow x = a+1 ; y = b+1$ với $a, b > 0$
Bất đẳng thức viết lại thành:
$$\dfrac{(a+1)^2a+(b+1)^2b}{ab} \geq 8$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{a^3+b^3+2(a^2+b^2)+a+b}{ab} \geq 8 (1)$$
Nhận xét:
1. $\dfrac{a^3+b^3+a+b}{ab} \geq \dfrac{4\sqrt[4]{a^4b^4}}{ab} = 4 $
2. $\dfrac{2(a^2+b^2)}{ab} \geq \dfrac{4ab}{ab} = 4$
Như vậy BĐT (1) đúng
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = 1 \Rightarrow x = y = 2$ nhé

bạn ơi viết dễ hiểu 1 chút đk ko?mình ko hiểu các kí tự đấy lm!

 

[nghgh97]

bạn ơi viết dễ hiểu 1 chút đk ko?mình ko hiểu các kí tự đấy lm!

Mới vào 10 sao bạn lại post trong box 12 chứ, cách của truongduong9083 không có đạo hàm đó, có thể sử dụng được. Còn các nhận xét bạn tự khai triển ra sẽ thấy thôi!
VD: Nhận xét 1: c/m bđt sau:
$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} \geq 2$
Theo bđt Côsi cho 2 số:
$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} \geq 2\sqrt {\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} \geqslant 2$
Ta có:
$\dfrac{{{a^3} + {b^3} + a + b}}{{ab}} = \left( {\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right) + \left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a}} \right)$
Áp dụng bđt trên ta được:
$\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{a} \geq 2$
$\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a} \geq 2$
$\dfrac{{{a^3} + {b^3} + a + b}}{{ab}} = \left( {\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right) + \left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a}} \right) \geq 4$

 

[nghgh97]

Nhận xét 2: Ta có:
$\dfrac{{2({a^2} + {b^2})}}{{ab}} = 2\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)$
Mà $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2$
$ \Rightarrow \dfrac{{2({a^2} + {b^2})}}{{ab}} = 2\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) \geq 4$

 

[colen_pink]

Nhận xét 2: Ta có:
$\dfrac{{2({a^2} + {b^2})}}{{ab}} = 2\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)$
Mà $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2$
$ \Rightarrow \dfrac{{2({a^2} + {b^2})}}{{ab}} = 2\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) \geq 4$

bạn ơi,đây là chuyên đề cần cho thi đh mà.học mãi mà bạn,đâu có phân biệt tuổi tác chứ.mình còn học ở post 12 nhiều nhiều nữa!
cũng cám ơn bạn.nhứng gì bạn giải chi tiết kia mình cũng hiểu hết từ trước rồi.rất mong lần sau đc bạn giúp đỡ các bài tập khác nha!!

 

[vivietnam]

VD: Nhận xét 1: c/m bđt sau:
$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} \geq 2$
Theo bđt Côsi cho 2 số:
$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} \geq 2\sqrt {\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} \geqslant 2$
Ta có:
$\dfrac{{{a^3} + {b^3} + a + b}}{{ab}} = \left( {\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right) + \left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a}} \right)$

đầu tiên là thiếu điều kiện của bất đẳng thức :áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số thực không âm
thứ 2 là nhầm chỗ [TEX]\frac{y}{z}[/TEX],cái này chắc là [TEX]\frac{y}{x}[/TEX]