Bất đẳng thức hay!

[soibac_pro_cute]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Dùng PP nghiệm của PT bậc 2 để giải.
1,
[TEX](x+y+1)xy=x^2+y^2 [/TEX]
(x,y#0)
Max: [TEX]A=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}[/TEX]

2,[TEX]x+y+z=xyz; x^2=yz [/TEX] (x,y,z#0)
CM:[TEX]x^2 \geq3[/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

[TEX]1. (x+y+1)xy = x^2 + y^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2} = \bigg(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \bigg)^2 + \frac{3}{4y^2} >0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2} = \bigg( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg)^2 - \frac{3}{xy} \leq \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\bigg)^2 - \frac{3}{4}\bigg( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leq \frac{1}{4} \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4\bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg) - \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\bigg)^2 \leq 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg)\bigg( 4 - \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\bigg) \bigg) \leq 0[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leq 4[/TEX]

[TEX]A = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} = \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\bigg)\bigg(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2}\bigg) = \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg)^2 \leq 16[/TEX]

 

[soibac_pro_cute]

[TEX]1. (x+y+1)xy = x^2 + y^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2} = \bigg(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \bigg)^2 + \frac{3}{4y^2} >0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2} = \bigg( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg)^2 - \frac{3}{xy} \leq \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\bigg)^2 - \frac{3}{4}\bigg( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leq \frac{1}{4} \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4\bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg) - \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\bigg)^2 \leq 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg)\bigg( 4 - \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\bigg) \bigg) \leq 0[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leq 4[/TEX]

[TEX]A = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} = \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\bigg)\bigg(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2}\bigg) = \bigg(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \bigg)^2 \leq 16[/TEX]

Thông cảm!
Đã ghi rõ yêu cầu là giải bằng pp nào rồi mà!
Câu 1 là đề Hà Tĩnh vừa rồi nhưng muốn s/d pp khác thôi,
Tuy hơi dài nhưng hay!

 

[minhtuyb]

Câu 2 có mem hỏi rồi nhưng không nhớ ở đâu ="=:
$xyz=x+y+z\geq^{AM-GM} 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow (xyz)^3\geq 27xyz \Leftrightarrow xyz\geq 3\sqrt{3}\Leftrightarrow x.x^2\geq 3\sqrt{3}\Leftrightarrow x^2\geq 3<Q.E.D>$
Câu 1 dùng Viet được hả, nghe thú vị đó