Bất đẳng thức hay!

[mua_buon_97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, [TEX]a,b,c >0[/TEX]
CM:
[TEX]\frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} +\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} -\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac} \geq8[/TEX]

2,[TEX]a,b,c \geq0[/TEX]
CM:
[TEX](a+b+c)(ab+bc+ac) \geq 3abc+2\sqrt{(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}[/TEX]
3,
[TEX]a,b,c >0[/TEX]
CM:
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}[/TEX]

4,[TEX]a,b,c \geq0; ab+bc+ac=1[/TEX]

CM: [TEX]\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c} \geq 2\sqrt{a+b+c}[/TEX]
5, [TEX]a,b,c \geq0; a+b+c=3[/TEX]
CM:
[TEX]\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(b+a)} \geq 3\sqrt{2abc}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

3,
[TEX]a,b,c >0[/TEX]
CM:
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}[/TEX]

[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}[/TEX]

[TEX]=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}[/TEX]

[TEX]\geq \frac{2a^2}{(b+c)^2}+\frac{2b^2}{(c+a)^2}+\frac{2c^2}{(a+b)^2}[/TEX]

[TEX]\geq \frac{2}{3} (\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2[/TEX]

[TEX]\geq \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}[/TEX]

 

[henny_ngocxit]

“Liệu… cậu có đến kịp không? Khánh Nam?Tôi không thể làm gì được cả. Hãy sớm trở về… Tôi không muốn thấy hội 4 người các cậu tan vỡ… và tôi… muốn cứu người con gái trong trái tim tôi. Xin cậu! Khánh Nam!”
Trong trai tim da phai khong ban?

 

[physics123]

Giúp em hai bài này với:
1,cho tam giác ABC nhọn. M là 1 điểm di động trong tam giác sao cho góc [TEX]\hat{MBA}=\hat{MCE}[/TEX]. Vẽ MD, ME tương ứng vuông góc với AB, AC. Gọi I là trực tâm tam giác ADE. Chứng minh rằng đường thẳng MI luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi.
2,Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c-b}}+\sqrt{\frac{c}{b+a-c}}\geq \sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{c+a-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

5, [TEX]a,b,c \geq0; a+b+c=3[/TEX]
CM:
[TEX]\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(b+a)} \geq 3\sqrt{2abc}[/TEX]

[TEX]a+b+c=3 \Rightarrow abc \leq 1[/TEX]

[TEX]\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(b+a)}[/TEX]

[TEX]\geq \sqrt{2a\sqrt{bc}}+\sqrt{2b\sqrt{ca}}+\sqrt{2c\sqrt{ab}}[/TEX]

[TEX]= \sqrt{2\sqrt{abc}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})[/TEX]

[TEX]\geq 3 \sqrt{2\sqrt{abc}}\sqrt[6]{abc} [/TEX]

[TEX]\geq 3\sqrt{2abc}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

[TEX]a+b+c=3 \Rightarrow abc \leq 1[/TEX]

[TEX]\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(b+a)}[/TEX]

[TEX]\geq \sqrt{2a\sqrt{bc}}+\sqrt{2b\sqrt{ca}}+\sqrt{2c\sqrt{ab}}[/TEX]

[TEX]= \sqrt{2\sqrt{abc}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})[/TEX]

[TEX]\geq 3 \sqrt{2\sqrt{abc}}\sqrt[6]{abc} [/TEX]

[TEX]\geq 3\sqrt{2abc}[/TEX]

huuu ! Chậm chân quá !
Chia 2 vế cho [TEX]\sqrt{abc} [/TEX] cho nó gọn gàng tý

[TEX]\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a + b}{ab}} \geq 3\sqrt{2}[/TEX]

Thấy [TEX]VT \geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{a^2b^2c^2}}} \geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{8}{abc}}} \geq 3\sqrt{2}[/TEX] (do abc \leq 1) (đpcm) >-

 

[mua_buon_97]

huuu ! Chậm chân quá !
Chia 2 vế cho [TEX]\sqrt{abc} [/TEX] cho nó gọn gàng tý

[TEX]\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a + b}{ab}} \geq 3\sqrt{2}[/TEX]

Thấy [TEX]VT \geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{(a + b)(b + c)(a + c)}{a^2b^2c^2}}} \geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{8}{abc}}} \geq 3\sqrt{2}[/TEX] (do abc \leq 1) (đpcm) >-

5, [TEX]a,b,c \geq0; a+b+c=3[/TEX]
CM:
[TEX]\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(b+a)} \geq 3\sqrt{2abc}[/TEX]

a,b,c là những số ko âm chưa thể chắc chắn đc [TEX] \sqrt{abc}[/TEX] dương để có thể chia 2 vế cho [TEX] \sqrt{abc}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

a,b,c là những số ko âm chưa thể chắc chắn đc [TEX] \sqrt{abc}[/TEX] dương để có thể chia 2 vế cho [TEX] \sqrt{abc}[/TEX]

uh thì bổ sung đk đi !
Dễ thấy nếu trong 3 số a , b ,c có ít nhất 1 số bằng 0 thì BĐT luôn đúng ! / bệnh này là bệnh mãn tính ! m thông cảm ! he he

 

[thienlong_cuong]

1, [TEX]a,b,c >0[/TEX]
CM:
[TEX]\frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} +\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} -\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac} \geq8[/TEX]

BĐT cần chứng minh tương đương với

[TEX]\frac{4(ab + bc + ac)}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} - \frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ac} \geq 6[/TEX]

Thấy

[TEX]\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} \geq \sqrt{3}.\sqrt{(\frac{(a^2 + b^2 + c^2)}{ab + bc + ac})^3}[/TEX]

BĐT cần chứng minh lại có
[TEX]\frac{4}{t} + \sqrt{3}t^{\frac{3}{2}} - t \geq 6 [/TEX] (với t \geq 1)

tới đây tịt ngỏm ! AI phân tích ra xem xem nó đúng ko !.
Cũng chả biết đúng ko nữa !

 

[thiennga_xinh]

a,b,c >0
CM:
[TEX] \frac{a^3+b^3+c^3}{abc} +(\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2})^2 \geq 28[/TEX]

 

[physics123]

Giải giúp mình BĐT này với:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c-b}}+\sqrt{\frac{c}{b+a-c}}\geq \sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{c+a-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}[/TEX]

 

[bang_mk123]

toà bài khó vãi luyện ra
[TEX]m^2[/TEX]