Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c\leq3/2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (3+1/a+1/b)(3+1/b+1/c)(3+1/c+1/a)
Áp dụng 2 BĐT: [TEX]x,y > 0: \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
[TEX]x,y,z > 0: \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z}[/TEX]
Giải:
[TEX]P=\prod_{i=1}^{n}(3+ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}) \geq \prod_{i=1}^{n}(3+ \frac{4}{a+b})[/TEX]
[TEX]=27+36( \frac{1}{a+b}+ \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+a})+ 48( \frac{1}{(a+b)(b+c)}+ \frac{1}{(b+c)(c+a)}+ \frac{1}{(c+a)(a+b)})+ \frac{64}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/TEX]
Ta có:
[TEX] \frac{1}{a+b}+ \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+a} \geq \frac{9}{2(a+b+c)} \geq 3[/TEX]
[TEX] \frac{1}{(a+b)(b+c)}+ \frac{1}{(b+c)(c+a)}+ \frac{1}{(c+a)(a+b)} \geq \frac{3}{[ \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}]^2[/TEX]
[TEX]\geq \frac{3}{[ \frac{2(a+b+c)}{3}]^2} \geq 3[/TEX]
[TEX] \frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{1}{ \frac{2(a+b+c)}{3})^3} \geq 1[/TEX]
\Rightarrow P \geq 27+36.3+48.3+64=343
Vậy MinP=343 khi: [TEX]a=b=c= \frac{1}{2}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn