bất đẳng thức hay và khó

[phanvan4]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1 cho x,y,z thỏa mãn x + y + z = 0 . chứng minh
$$\sqrt[1]{3+4^x}+\sqrt[1]{3+4^y}+\sqrt[1]{3+4^z}\geq 6$$
bài 2 : cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + + z \leq 1
chứng minh $$\sqrt[1]{x^2+\frac{1}{x^2}} + \sqrt[]{y^2+\frac{1}{y^2}} + \sqrt[1]{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt[1]{82}$$

 

[nguyenbahiep1]

bài 1 cho x,y,z thỏa mãn x + y + z = 0 . chứng minh
M = \sqrt[1]{3+4^x}+\sqrt[1]{3+4^y}+\sqrt[1]{3+4^z}

6

[laTEX]1+1+1+4^x \geq 4.4^{\frac{x}{4}} \Rightarrow \sqrt{3+4^x} \geq 2.4^{\frac{x}{8}}\\ \\ \sqrt{3+4^y} \geq 2.4^{\frac{y}{8}}\\ \\ \sqrt{3+4^z} \geq 2.4^{\frac{z}{8}} \\ \\ M \geq 2.( 4^{\frac{z}{8}}+4^{\frac{y}{8}}+4^{\frac{z}{8}}) \geq 2.3.\sqrt[3]{4^{\frac{x+y+z}{8}}} \\ \\ M \geq 2.3.1 = 6 \\ \\ x= y = z = 0 [/laTEX]

 

[nttthn_97]

bài 2 : cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + + z \leq 1
chứng minh $$\sqrt[1]{x^2+\frac{1}{x^2}} + \sqrt[]{y^2+\frac{1}{y^2}} + \sqrt[1]{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt[1]{82}$$

ĐỀ thế này phải k
$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$[TEX]\geq[/TEX]$\sqrt{82}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}.\sqrt{1^2+9^2}$[TEX]\geq[/TEX]$x+\frac{9}{x}=81x+\frac{9}{x}-80x$[TEX]\geq[/TEX]$54-80x$

Tương tự

$\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}.\sqrt{82}$[TEX]\geq[/TEX]$54-80y$

$\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}.\sqrt{82}$[TEX]\geq[/TEX]$54-80z$

[TEX]\Rightarrow[/TEX]$VT.\sqrt{82}$[TEX]\geq[/TEX]$162-80(x+y+z)$[TEX]\geq[/TEX]$82$[TEX]\Rightarrow[/TEX]ĐPCM