Toán Bất đẳng thức, GTLN

[newswordhero]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho x, y, z là 3 số dương : [tex]\dpi{120} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 8[/tex]
Tìm GTLN của M :
[tex]\dpi{120} M = \frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z}[/tex]

2) x, y, z là 3 số dương (chứng minh hộ mình phần b) thôi)
a) CMR : [tex]\dpi{120} 3(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq (x + y + z)^{2}[/tex]
b) Cho x, y, z thỏa mãn :
[tex]\dpi{120} 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 12(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} )[/tex]

CMR : [tex]\dpi{120} \frac{1}{4x + y + z} + \frac{1}{x + 4y + z} + \frac{1}{x + y + 4z} \leq \frac{1}{6}[/tex]

3) a, b, c là các số thực ko âm t/m : a + b + c = 1. CMR :
[tex]\dpi{120} \frac{ab}{c + 1} + \frac{bc}{a + 1} + \frac{ca}{b + 1} \leq \frac{1}{4}[/tex]

 

[tranvandong08]

1.Áp dụng bất đẳng thức [tex]\large \frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})[/tex] hai lần ta có :
[tex]\large \frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+x+y+z}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{16}.\frac{1}{x}+\frac{1}{2}[/tex]
Tương tự ta có M [tex]\large [/tex][tex]\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{3}{2}=2[/tex]
Dấu = xảy ra khi
[tex]\large x=y=z=\frac{3}{8}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

3) a, b, c là các số thực ko âm t/m : a + b + c = 1. CMR :

Áp dụng BĐT $\dfrac{1}{a+b}\leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}a+\dfrac{1}b)$ ta có:
$\dfrac{ab}{c+1}=\dfrac{ab}{b+c+c+a}\leq \dfrac{ab}{4}(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a})\\\dfrac{bc}{a+1}=\dfrac{bc}{c+a+a+b}\leq \dfrac{bc}{4}(\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b})\\\dfrac{ca}{b+1}=\dfrac{ab}{a+b+b+c}\leq \dfrac{ca}{4}(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c})\\\Rightarrow VT\leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c})\\=\dfrac{1}{4}(\dfrac{bc+ca}{a+b}+\dfrac{ab+ca}{b+c}+\dfrac{ab+bc}{c+a})=\dfrac{1}{4}\left [\dfrac{c(a+b)}{a+b}+\dfrac{a(b+c)}{b+c}+\dfrac{b(c+a)}{c+a} \right ]\\=\dfrac{1}{4}(a+b+c)=\dfrac{1}4$

 

[iceghost]

2b) Cho x, y, z thỏa mãn :

CMR :

Dễ dàng CM được $$\dfrac1{4x+y+z} + \dfrac1{x+4y+z} + \dfrac1{x+y+4z} \leqslant \dfrac16 ( \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z)$$
Áp dụng bđt vừa CM ở đâu a) vào câu b ta được $$3 + (\dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z) \geqslant 4(\dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z)^2 \\
\iff -\dfrac34 \leqslant \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z \leqslant 1$$
Suy ra $$\dfrac1{4x+y+z} + \dfrac1{x+4y+z} + \dfrac1{x+y+4z} \leqslant \dfrac16$$

 

[newswordhero]

bạn có thể giải rõ cho mình hiểu đoạn này ko :
[tex]\dpi{120} 3 + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 4(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{2}[/tex]
Mình ko hiểu tại sao [tex]\frac{-3}{4} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}[/tex] rồi suy ra đề bài cần CM.

 

[newswordhero]

Dễ dàng CM được $$\dfrac1{4x+y+z} + \dfrac1{x+4y+z} + \dfrac1{x+y+4z} \leqslant \dfrac16 ( \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z)$$
Áp dụng bđt vừa CM ở đâu a) vào câu b ta được $$3 + (\dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z) \geqslant 4(\dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z)^2 \\
\iff -\dfrac34 \leqslant \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z \leqslant 1$$
Suy ra $$\dfrac1{4x+y+z} + \dfrac1{x+4y+z} + \dfrac1{x+y+4z} \leqslant \dfrac16$$

bạn có thể giải rõ cho mình hiểu đoạn này ko :
[tex]\dpi{120} 3 + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 4(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{2}[/tex]
Mình ko hiểu tại sao [tex]\frac{-3}{4} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}[/tex] rồi suy ra đề bài cần CM.

 

[iceghost]

bạn có thể giải rõ cho mình hiểu đoạn này ko :
[tex]\dpi{120} 3 + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 4(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{2}[/tex]
Mình ko hiểu tại sao [tex]\frac{-3}{4} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}[/tex] rồi suy ra đề bài cần CM.

Sử dụng $-\dfrac34 \leqslant \boxed{\dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z \leqslant 1}$ đó bạn