Toán Bất đẳng thức, GTLN (2)

[newswordhero]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Chứng minh hộ phần b)
a) [tex]\dpi{120} a^{2} + b^{2}+c^{2} \geq ab + bc + ca[/tex] với mọi a, b, c
b) Cho a > 0, b > 0, c > 0
CMR : [tex]\dpi{120} \frac{a^{8} + b^{8} + c^{8}}{a^{3} . b^{3} . c^{3}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}[/tex]
2) Cho a, b, c > 0. CMR :
[tex]\dpi{120} \frac{ab}{a + 3b + 2c} + \frac{bc}{b + 3c +2a} + \frac{ca}{c + 3a + 2b} \leq \frac{a + b + c}{6}[/tex]
3) Cho x, y thuộc R. CM : P luôn dương
[tex]\dpi{120} P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x^{2} - 24x + 3y^{2} + 18y + 36[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

$1.$
$b)$ Cần cm $a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ca)$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4$
$=a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ca)$ (đpcm)
$2.$
Áp dụng BĐT $\dfrac{1}{x+y+z}\leq \dfrac19(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c)$ ta có:
$\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{(a+c)+(b+c)+2b}\leq \dfrac{ab}{9}(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2b})\\
\dfrac{bc}{b+3c+2a}=\dfrac{bc}{(a+b)+(a+c)+2c}\leq \dfrac{bc}{9}(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{2c})\\
\dfrac{ca}{c+3a+2b}=\dfrac{ab}{(a+b)+(b+c)+2a}\leq \dfrac{ca}{9}(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2a})\\
\implies VT\leq \dfrac{1}{9}(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{2b}+\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{bc}{2c}+\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}+\dfrac{ca}{2a})\\
=\dfrac{1}{9}(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2})=\dfrac{a+b+c}{6}$
$3.$
$P=xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36\\
=xy(x-2)(y+6)+12x(x-2)+3y(y+6)+36\\
=x(x-2)[y(y+6)+12]+3[y(y+6)+12]\\
=(y^2+6y+12)(x^2-2x+3)$
$=[(y+3)^2+3][(x-1)^2+2]>0$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$