Bất đẳng thức đêyyyyyy

[cangaru]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z thoả mãn: [TEX]x^2+y^2+z^2=1 [/TEX]CM:
[TEX]\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3 \sqrt[2]{3}}{6}[/TEX]

 

[typhoon_vsthien_95]

Cho x,y,z thoả mãn: [TEX]x^2+y^2+z^2=1 [/TEX]CM:
[TEX]\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3 \sqrt[2]{3}}{6}[/TEX]

[tex](gt) \Rightarrow x,y,z \in\ (0;1) [/tex]

[tex]\Rightarrow 2=2x^2+(1-x^2)+(1-x^2) \geq 3.\sqrt[3]{2x^2.(1-x^2)^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{4}{27} \leq x^2.(1-x^2)^2 [/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{2.\sqrt{3}}{9} \leq x.(1-x^2)[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{x}{1-x^2} \geq \frac{3\sqrt{3}.x^2}{2}[/tex]

Xây dựng bài toán tương tự, cộng lại:

[tex]LHS:=\sum_{cyc} \frac{x}{1-x^2} \geq \frac{3.\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2)= \frac{3.\sqrt{3}}{2}[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3} [/tex]

 

[cangaru]

[tex](gt) \Rightarrow x,y,z \in\ (0;1) [/tex]

[tex]\Rightarrow 2=2x^2+(1-x^2)+(1-x^2) \geq 3.\sqrt[3]{2x^2.(1-x^2)^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{4}{27} \leq x^2.(1-x^2)^2 [/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{2.\sqrt{3}}{9} \leq x.(1-x^2)[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{x}{1-x^2} \geq \frac{3\sqrt{3}.x^2}{2}[/tex]

Xây dựng bài toán tương tự, cộng lại:

[tex]LHS:=\sum_{cyc} \frac{x}{1-x^2} \geq \frac{3.\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2)= \frac{3.\sqrt{3}}{2}[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3} [/tex]

ơ....bạn bị nhầm rồi, 2.. 3 chỗ lận =.=... bước 2 sai chiều dấu và bước3 ở đâu coá @-)