Toán 9 Bất đẳng thức đẹp

[Nguyễn Thành Nghĩa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3
CMR: [tex]\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}[/tex]
@iceghost

 

[Lê.T.Hà]

Sửa đề: [tex]\sum \frac{a^2b}{2a+b}\leq 1[/tex]
Thật vậy, BĐT tương đương: [tex]\sum \frac{2a^2b}{2a+b}\leq 2\Leftrightarrow \sum \left ( ab-\frac{ab^2}{2a+b} \right )\leq 2\Leftrightarrow \sum \frac{ab^2}{2a+b}-\left (ab+bc+ca \right )+2\geq 0[/tex]
Ta có: [tex]VT=\sum \frac{(ab)^2}{2a^2+ab}-(ab+bc+ca)+2\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}-(ab+bc+ca)+2=\frac{(ab+bc+ca)^2}{2(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)}-(ab+bc+ca)+2[/tex]
Đặt [tex]ab+bc+ca=x\Rightarrow 0< x\leq 3[/tex]
[tex]VT\geq \frac{x^2}{18-3x}-x+2=\frac{x^2-(x-2)(18-3x)}{18-3x}=\frac{4(x-3)^2}{18-3x}\geq 0[/tex] (đpcm)

 

[Nguyễn Thành Nghĩa]

Sửa đề: [tex]\sum \frac{a^2b}{2a+b}\leq 1[/tex]
Thật vậy, BĐT tương đương: [tex]\sum \frac{2a^2b}{2a+b}\leq 2\Leftrightarrow \sum \left ( ab-\frac{ab^2}{2a+b} \right )\leq 2\Leftrightarrow \sum \frac{ab^2}{2a+b}-\left (ab+bc+ca \right )+2\geq 0[/tex]
Ta có: [tex]VT=\sum \frac{(ab)^2}{2a^2+ab}-(ab+bc+ca)+2\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}-(ab+bc+ca)+2=\frac{(ab+bc+ca)^2}{2(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)}-(ab+bc+ca)+2[/tex]
Đặt [tex]ab+bc+ca=x\Rightarrow 0< x\leq 3[/tex]
[tex]VT\geq \frac{x^2}{18-3x}-x+2=\frac{x^2-(x-2)(18-3x)}{18-3x}=\frac{4(x-3)^2}{18-3x}\geq 0[/tex] (đpcm)

ơ đề sai hả chị do em lấy trong sách
Mà chị có cách thuần AM-GM ko nhỉ ?

 

[Lê.T.Hà]

Nói đề sai cũng không đúng, vì [tex]P\leq 1[/tex] nên hiển nhiên [tex]P\leq \frac{3}{2}[/tex]
Dấu "=" của BĐT sau ko xảy ra thôi

 

[Nguyễn Thành Nghĩa]

Nói đề sai cũng không đúng, vì [tex]P\leq 1[/tex] nên hiển nhiên [tex]P\leq \frac{3}{2}[/tex]
Dấu "=" của BĐT sau ko xảy ra thôi

à vâng ạ
Nhưng cho em hỏi là còn cái cách nào sử dụng AM-GM thuần túy nhất ko ạ

 

[Lê.T.Hà]

Chắc chỉ C-S được thôi bạn:
[tex]P=\sum a^2b\left ( \frac{1}{a+a+b} \right )\leq \frac{1}{9}\sum a^2b\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=\frac{1}{9}(a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca)=\frac{1}{9}(a+b+c)^2=1[/tex]

 

[Nguyễn Thành Nghĩa]

Chắc chỉ C-S được thôi bạn:
[tex]P=\sum a^2b\left ( \frac{1}{a+a+b} \right )\leq \frac{1}{9}\sum a^2b\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=\frac{1}{9}(a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca)=\frac{1}{9}(a+b+c)^2=1[/tex]

ok em cảm ơn ạ