bất đẳng thức dạng phân thức

P

phuong95_online

Last edited by a moderator:
N

nerversaynever

phuong95_online said:
giúp tớ bài này .hjx giải chi tiết giùm tớ với nhé ^^! vì t kém cái này lắm cho abc=1
[TEX]\frac{1}{{2a + b + 3}} + \frac{1}{{2b + c + 3}} + \frac{1}{{2c + a + 3}} \le \frac{1}{2}[/TEX]
giúp tớ với :(
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Oh lời giải trâu bò có ưu điểm là ko tốn nhiều calo để suy nghĩ nhưng mà tốn nhiều calo để ngồi nhân, tuy nhiên thời đại công nghệ đã giúp cho chúng ta điều nay, để hòa nhập với cuộc sống số xin được trình bày phương pháp đó ;))

Quy đồng ta cần chứng minh

[TEX]\begin{array}{l} 2\left( {2\sum {a^2 } + 7\sum {ab + 18\sum a + 27} } \right) \le 6\sum {a^2 } + 21\sum {ab + 27\sum a + 27} + 9abc +4\sum\limits_{cyc} {a^2 b + 2} \sum\limits_{cyc} {ab^2 } \\ \Leftrightarrow 2\sum {a^2 } + 4\sum\limits_{cyc} {a^2 b + 2} \sum\limits_{cyc} {ab^2 } + 7\sum {ab - 9\sum a - 18 \ge 0} \\ VT \ge 2\left( {a + b + c} \right)^2 + 27 - 9\sum a - 18 = 2\left( {a + b + c} \right)^2 - 9\sum a + 9 = 2\left( {a + b + c - 3} \right)\left( {a + b + c - \frac{3}{2}} \right) \ge 0 \\ \end{array}[/TEX]

đúng vì a+b+c>=3
 
P

phuong95_online

hjx thanks anh nhưng dài quá nản.bạn nào có cách ngắn gọn hơn giải giùm mình nhé,rất rất cảm ơn ^^
 
H

huyenst

phuong95_online said:
giúp tớ bài này .hjx giải chi tiết giùm tớ với nhé ^^! vì t kém cái này lắm cho abc=1
[TEX]\frac{1}{{2a + b + 3}} + \frac{1}{{2b + c + 3}} + \frac{1}{{2c + a + 3}} \le \frac{1}{2}[/TEX]
giúp tớ với :(
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Bài này có lẽ thiếu đk a,b,c dương vì thử giá trị âm thấy ko thoả mãn
Ta có: [TEX]\frac{1}{{2a + b + 3}} + \frac{1}{{2b + c + 3}} + \frac{1}{{2c + a + 3}} \le \frac{9}{3(a+b+c)+9} \le \frac{3}{a+b+c+3} \le \frac{3}{3+3} \le \frac{1}{2}[/TEX] => đpcm

Áp dụng: [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \le \frac{9}{x+y+z}[/TEX]
và cauchy: [TEX]a+b+c \ge 3[/TEX]
----------
Sr bạn, làm sai rùi. Đầu óc chán quá. Thank neversaynever!!
 
Last edited by a moderator:
N

nerversaynever

huyenst said:
Bài này có lẽ thiếu đk a,b,c dương vì thử giá trị âm thấy ko thoả mãn
Ta có: [TEX]\frac{1}{{2a + b + 3}} + \frac{1}{{2b + c + 3}} + \frac{1}{{2c + a + 3}} \le \frac{9}{3(a+b+c)+9} \le \frac{3}{a+b+c+3} \le \frac{3}{3+3} \le \frac{1}{2}[/TEX] => đpcm

Áp dụng: [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \le \frac{9}{x+y+z}[/TEX]
và cauchy: [TEX]a+b+c \ge 3[/TEX]
----------
Cậu xem có đúng ko nhé !!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Cách này hiển nhiên sai, vì bất đẳng thức ngược chiều, nó phải thế này

[TEX]\frac{1}{{2a + b + 3}} + \frac{1}{{2b + c + 3}} + \frac{1}{{2c + a + 3}} \ge \frac{9}{3(a+b+c)+9}[/TEX]

p/s nói nhân ra là trâu bò nhưng mà nếu biết cách nhân thì rất nhanh (chì phải nhân 2 biểu thức!!! :)|)
 
N

nerversaynever

phuong95_online said:
giúp tớ bài này .hjx giải chi tiết giùm tớ với nhé ^^! vì t kém cái này lắm cho abc=1
[TEX]\frac{1}{{2a + b + 3}} + \frac{1}{{2b + c + 3}} + \frac{1}{{2c + a + 3}} \le \frac{1}{2}[/TEX]
giúp tớ với :(
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


[TEX]\begin{array}{l} a = \frac{x}{y},b = \frac{y}{z},c = \frac{z}{x} \\b{\rm{d}}t \Leftrightarrow \sum {\frac{{yz}}{{2xz + y^2 + 3yz}}} \le \frac{1}{2} \\\Leftrightarrow \sum {\frac{{2xz + y^2 }}{{2xz + y^2 + 3yz}}} \ge \frac{3}{2} \\\sum {\frac{{y^2 }}{{2xz + y^2 + 3yz}}} \ge \frac{{\left( {\sum x } \right)^2 }}{{\left( {\sum x } \right)^2 + 3\sum {xy} }} \ge \frac{1}{2} \\ \sum {\frac{{2xz}}{{2xz + y^2 + 3yz}}} = 2\sum {\frac{{x^2 z^2 }}{{2x^2 z^2 + xzy^2 + 3xyz^2 }}} \ge 2\frac{{\left( {\sum {xz} } \right)^2 }}{{2\left( {\sum {xz} } \right)^2 }} = 1 \\ = > \sum {\frac{{2xz + y^2 }}{{2xz + y^2 + 3yz}}} \ge \frac{3}{2} \\ dpcm \\ \end{array}[/TEX]
 
N

nerversaynever

huyenst said:
Sr, cách trên nhầm nghen, cậu xem cách này?
[tex]\frac{1}{{2a + b + 3}} \le \frac{1}{9}(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})[/tex]
Tương tự đk 2 cái nữa rồi cộng lại, ta có:
[tex]\frac{1}{{2a + b + 3}} + \frac{1}{{2b + c + 3}} + \frac{1}{{2c + a + 3}} \le \frac{1}{3}(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}) \le \frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}}\le \frac{1}{2}[/tex]

Áp dụng [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}[/tex]
và [tex] \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1} \le \frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}}[/tex](cái này nếu cần thì bảo, t sẽ cm)

----------------
Tưởng dễ xông vào chém ai ngờ cũng khó nhằn
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...



Cách này sẽ không được
Lý do:
Khi đánh giá
[TEX]\begin{array}{l} \frac{1}{{2a + b + 3}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}}} \right) \\ = > VT \le \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}}} \right) \\ Cho:a - > 0,b - > 0,c - > + \infty \\ \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}}} \right) - > \frac{2}{3} > \frac{1}{2} \\ \end{array}[/TEX]

p/s: và cái bất đẳng thức
[TEX]\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}}} \right) \le \frac{1}{{1 + \sqrt[3]{{abc}}}}[/TEX]

cậu sẽ ko thể Cm bđt này
Lý do: cho [TEX]Cho:a - > 0,b - > 0,c - > + \infty [/TEX] sao cho abc=1 ( ví dụ a=1/n,b=1/n,c=n^2 và n tiến đến dương vô cùng)
 
N

noinhobinhyen

Cho a,b,c > 0. CMR $\dfrac{1}{a+ab}+\dfrac{1}{b+bc}+\dfrac{1}{c+ca} \geq \dfrac{1}{1+abc}$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom