Toán bất đẳng thức, cực trị

[Chibaek]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.cho [tex]a^2+b^2+c^2=3[/tex]
chứng minh: [tex]\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\leqslant \frac{1}{2}[/tex]
2. Cho a,b,c >0, a+b+c+=1
Tìm GTLN của:
P=[tex]\frac{a}{9a^3+3b^2+c}+\frac{b}{9b^3+3c^2+a}+\frac{c}{9c^3+3a^2+b}[/tex]

 

[Ma Long]

2. Cho $a,b,c >0, a+b+c=1$
Tìm GTLN của:
P=[tex]\frac{a}{9a^3+3b^2+c}+\frac{b}{9b^3+3c^2+a}+\frac{c}{9c^3+3a^2+b}[/tex]

Giải
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
[tex](a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq (ax+by+cz)^2[/tex]
Ta có:
$(9a^3+3b^2+c)(\dfrac{1}{9a}+\dfrac{1}{3}+c)\geq (a+b+c)^2=1$
$\Rightarrow \dfrac{1}{9a^3+3b^2+c}\leq \dfrac{1}{9a}+\dfrac{1}{3}+c$
$\Rightarrow \dfrac{a}{9a^3+3b^2+c}\leq \dfrac{1}{9}+\dfrac{a}{3}+ac$
Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế 3 biểu thức lại:
$P\leq \dfrac{1}{3}+\dfrac{a+b+c}{3}+(ab+bc+ca)\leq \dfrac{1}{3}+\dfrac{a+b+c}{3}+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}=1$
[tex]MaxP=1\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}[/tex]

1. Cho [tex]a^2+b^2+c^2=3[/tex]
chứng minh: [tex]A=\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\leqslant \frac{1}{2}[/tex]

Ta có:
[tex]a^2+2b+3=(a^2+1)+2b+2\geq 2a+2b+2\Rightarrow \dfrac{a}{a^2+2b+3}\leq \dfrac{a}{2(a+b+1)}[/tex]
Tương tự:
[tex]A\leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{c+a+1})[/tex]
$\Rightarrow \dfrac{3}{2}-A\geq \sum (\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{2(a+b+1)})=\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{b+1}{a+b+1}.$
Xét:
$P=\sum \dfrac{b+1}{a+b+c}=\sum \dfrac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}\geq \dfrac{(a+b+c+3)^2}{\sum (b+1)(a+b+1)}$
Lại có:
$\sum (b+1)(a+b+1)=(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)+3(a+b+c)+3=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)+3(a+b+c)+\dfrac{9}{2}$
$=\dfrac{1}{2}((a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+9)$
$=\dfrac{1}{2}(a+b+c+3)^2$
$\Rightarrow P\geq \dfrac{(a+b+c+3)^2}{\dfrac{1}{2}(a+b+c+3)^2}=2$
$\Rightarrow \dfrac{3}{2}-A\geq 1\rightarrow A\leq \dfrac{1}{2}$.