Toán 9 bất đẳng thức côsi

[khailequang2004@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ cho a,b,c >0; c/m [tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}\geqslant a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}[/tex]
2/ cho a,b >1; c/m: [tex]\frac{a^{2}}{b-1}+\frac{b^{2}}{a-1}\geq 8[/tex]
giúp mình với cảm ơn trước

 

[Ann Lee]

2/ cho a,b >1; c/m: [tex]\frac{a^{2}}{b-1}+\frac{b^{2}}{a-1}\geq 8[/tex]

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
[tex]\frac{a^{2}}{b-1}+4(b-1)\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{b-1}.4(b-1)}=4a\\\Rightarrow \frac{a^{2}}{b-1}\geq 4a-4b+4[/tex]
Tương tự: [TEX]\frac{b^{2}}{a-1}\geq 4b-4a+4[/TEX]
Cộng 2 BĐT cùng chiều trên ta được đpcm
Dấu = xảy ra <=> a=b=2

1/ cho a,b,c >0; c/m [tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}\geqslant a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}[/tex]

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
+) [tex]a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}\sqrt{bc}.b^{2}\sqrt{ca}.c^{2}\sqrt{ab}}=3abc\\\Rightarrow a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}-3abc\geq 0[/tex]
+) [tex]a^{3}+abc\geq 2\sqrt{a^{3}.abc}=2a^2\sqrt{bc}\\\Rightarrow a^3\geq 2a^2\sqrt{bc}-abc[/tex]
Tương tự:....
Suy ra [tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}\geqslant 2a^{2}\sqrt{bc}+2b^{2}\sqrt{ca}+2c^{2}\sqrt{ab}-3abc=a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}+(a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}-3abc)\geq a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}(dpcm)[/tex]
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$