Toán 9 Bất đẳng thúc cô-si

[MysticHuyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0. C/m: 1/a + 1/b + 1/c lớn hon hoặc bằng 9 nếu a + b + c=1

 

[Ngọc's]

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

[tex]9a+\frac{1}{a}\geq 2\sqrt{9a.\frac{1}{a}}=6[/tex]

Tương tự ta có:

[tex]9b+\frac{1}{b}\geq 6[/tex]

[tex]9c+\frac{1}{c}\geq 6[/tex]

[tex]=>9(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 18[/tex]

[tex]=>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9[/tex]

 

[MysticHuyen]

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

[tex]9a+\frac{1}{a}\geq 2\sqrt{9a.\frac{1}{a}}=6[/tex]

Tương tự ta có:

[tex]9b+\frac{1}{b}\geq 6[/tex]

[tex]9c+\frac{1}{c}\geq 6[/tex]

[tex]=>9(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 18[/tex]

[tex]=>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9[/tex]

Cho mình hỏi 9a, 9b, 9c là từ đâu ra được không?

 

[Ngọc's]

Cho mình hỏi 9a, 9b, 9c là từ đâu ra được không?

Nhờ biến đổi ở trên mà có 9a, 9b, 9c sau đó cộng 3 biểu thức đó lại với nhau.

 

[MysticHuyen]

Nhờ biến đổi ở trên mà có 9a, 9b, 9c sau đó cộng 3 biểu thức đó lại với nhau.

Ý mình là từ cái đề bài ban đầu, làm thế nào để ra được 9a + 1/a rồi 9b + 1/b á

 

[Ngọc's]

Ý mình là từ cái đề bài ban đầu, làm thế nào để ra được 9a + 1/a rồi 9b + 1/b á

Áp dụng BĐT Cô-si :[tex]a+\frac{1}{a}\geq 2[/tex] để biến đổi thì mới chứng minh được chứ bạn :v Nếu như cứ giữ cái biểu thức ban đầu thì làm sao chứng minh được.

 

[ThinhThinh123]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel. Ta có:

[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=9[/tex]
Dấu''='' xảy ra khi a=b=c=1/3

 

[MysticHuyen]

Áp dụng BĐT Cô-si :[tex]a+\frac{1}{a}\geq 2[/tex] để biến đổi thì mới chứng minh được chứ bạn :v Nếu như cứ giữ cái biểu thức ban đầu thì làm sao chứng minh được.

Thế sao,ở trên bạn lại ghi là 9a vậy?

 

[MysticHuyen]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel. Ta có:
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{(1+1+1)^2}{a+b+c}= 9$
Dấu"=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{3}$

Mình mới học bđt cô si cho 2 số ko âm thôi bạn

 

[ThinhThinh123]

Mình mới học bđt cô si cho 2 số ko âm thôi bạn

Bạn @Ngọc's muốn dấu "=" xảy ra khi
[tex]\frac{1}{a}=9a<=> 9a^2=1=> a=\frac{1}{3}[/tex]
ấy mà! Tương tự với mấy cái kia cũng vậy bạn nhé!

 

[MysticHuyen]

Bạn @Ngọc's muốn dấu "=" xảy ra khi
[tex]\frac{1}{a}=9a<=> 9a^2=1=> a=\frac{1}{3}[/tex]
ấy mà! Tương tự với mấy cái kia cũng vậy bạn nhé!

Nhưng mà mình vẫn chưa hiểu tạo sao lại xuất hiện 9a, 9b, 9c bạn ơi. Nếu áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cai thì lạ:
a + 1/a >= 2; b + 1/b >= 2; c + 1/c >= 2 rồi cộng ba caid lại được 1 + 1/a + 1/b + 1/c >= 8 nhưng thế này lại ko ra được, bạn gt cho mình tại sai lại xuất hiện 9a, 9b, 9c được ko?

 

[MysticHuyen]

Bạn @Ngọc's muốn dấu "=" xảy ra khi
[tex]\frac{1}{a}=9a<=> 9a^2=1=> a=\frac{1}{3}[/tex]
ấy mà! Tương tự với mấy cái kia cũng vậy bạn nhé!

À có phải a>0 => 9a > 0 và 1/a > 0 rồi dung cô si và mấy cái kia tương tự ko bạn

 

[ThinhThinh123]

Nhưng mà mình vẫn chưa hiểu tạo sao lại xuất hiện 9a, 9b, 9c bạn ơi. Nếu áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cai thì lạ:
a + 1/a >= 2; b + 1/b >= 2; c + 1/c >= 2 rồi cộng ba caid lại được 1 + 1/a + 1/b + 1/c >= 8 nhưng thế này lại ko ra được, bạn gt cho mình tại sai lại xuất hiện 9a, 9b, 9c được ko?

Ủa mình giải thích rồi mà! Nếu

À có phải a>0 => 9a > 0 và 1/a > 0 rồi dung cô si và mấy cái kia tương tự ko bạn

Đúng rồi đó bạn! xuất hiện 9a là do cân bằng khi dấu ''='' xảy ra thôi bạn! Chứ nếu $\frac{1}{a}=a$ thì a=1 là không được chứ sao!