Bất đẳng thức cô si

[pipilove_khanh_huyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, TÌm GTLN, GTNN của
C= căn x-1 +căn 3-x ( 1 \leq x\leq3)
2 TÌm GTNN: E= [tex]\frac{x+17+2\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}[/tex]
3, Cho x^2 +y^2 =1. Tìm GTLN, GTNN của P = x^6 +y^6

 

[transformers123]

câu 1:
(*) tìm GTNN:
$C= \sqrt{x-1} +\sqrt{3-x}$
$\iff C^2=(\sqrt{x-1} +\sqrt{3-x})^2$
$\iff C^2 = x-1+3-x+2\sqrt{(x-1)(3-x)}$
$\iff C^2 = 2+2\sqrt{(x-1)(3-x)} \ge 2$
$\iff C \le -\sqrt{2}$ (vô lí) hoặc $C \ge \sqrt{2}$
vậy GTNN của $C=\sqrt{2}$ khi $x-1=0\ hoặc 3-x=0\ \iff x=1\ hoặc\ x=3$
(*)(*) GTLN:
$C^2=(\sqrt{x-1} +\sqrt{3-x})^2$
$\iff C^2 \le 2(x-1+3-x)$ (theo bđt Bunhia)
$\iff C^2 \le 4$
$\iff C \le 2$
vậy GTNN của $C=2$ khi $x=...........$ (lười=)))

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Áp dụng $\sqrt{a}+\sqrt{b} \ge \sqrt{a+b}$

$C \ge \sqrt{x-1+3-x}=\sqrt{2}$

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz:

$C \le \sqrt{2(x-1+3-x)}=2$

$\text{minA}=\sqrt{2} \leftrightarrow (x-1)(3-x)=0$

$\text{maxA}=2 \leftrightarrow x=2$

Bài 2:

Đề là $E=\dfrac{x+2\sqrt{x}+17}{\sqrt{x}+1}$ chứ.

Đặt $a^2=x\ge 0$

$E=\dfrac{a^2+2a+17}{a+1}$

Gọi $m$ là giá trị tuỳ ý của $E$ và ta chứng minh được $m>0$ (Easy)

Ta có $a^2+(2-m)a+(17-m)=0$

$\Delta = (m-2)^2+4(m-17)=m^2-64 \ge 0 \leftrightarrow m \ge 8$

$\text{minE}=8 \leftrightarrow x=9$

Bài 3:

Áp dụng BDT Holder:

$P=x^6+y^6 \ge \dfrac{(x^2+y^2)^3}{4}=\dfrac{1}{4}$

$x^2, y^2\in [0;1]$

$P=x^6+y^6 \le x^2+y^2=1$

Hoặc:

Đặt $x=\sin t; y=\cos t$ với $t\in [-\pi; \pi]$

$P=\sin^6 t + \cos^6 t$

$P'=6\cos t .\sin^5 t-6. \sin t. \cos^5 t=0$

$\leftrightarrow \sin t\cos t (\sin^4 t - \cos^4 t)=0$

$\leftrightarrow \sin t\cos t =0$ hoặc $\sin t=\pm \cos t$

Lập bảng biến thiên được $1\ge P\ge \dfrac{1}{4}$

$\text{minP}=\dfrac{1}{4} \leftrightarrow |x|=|y|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\text{maxP}=1 \leftrightarrow xy=0$ và $x^2+y^2=1$

 

[transformers123]

bài 3 cái khúc tìm GTLN có cách khác:
vì $x^2+x^2 =1$ mà $x^2 \ge 0;\ y^2 \ge 0$ nên $x^2, y^2 \in [0;1]$
$\Longrightarrow x^2 \ge x^6; y^2 \ge y^6$
cộng từng về của các bđt cùng chiều, ta có: $x^6+y^2 \le x^2+y^2=1$
Dấu"=" xảy ra khi $(x;y)=(0;1); (1;0)$