Bất đẳng thức cô si

[pipilove_khanh_huyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b>0 tìm GTNN của
[tex]\frac{a^2 +b^2}{ab}[/tex] + [tex]\frac{ab}{a^2+b^2}[/tex]

 

[huynhbachkhoa23]

Chuẩn hoá $a^2+b^2=2$

Đặt $t=ab \le \dfrac{a^2+b^2}{2}=1$

$\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\dfrac{2}{t}+\dfrac{t}{2}=\dfrac{1}{2t}+\dfrac{t}{2}+\dfrac{3}{2t} \ge 2\sqrt{\dfrac{t}{4t}}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$

Hoặc ta có thể khảo sát hàm $f(t)=\dfrac{2}{t}+\dfrac{t}{2}$ trên $(0;1]$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b$

 

[pipilove_khanh_huyen]

bạn ơi tại sao a^2+b^2=2 được??

 

[huynhbachkhoa23]

bạn ơi tại sao a^2+b^2=2 được??

Ta đặt $f(a;b)=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{ab}{a^2+b^2}$

Cần tìm hằng số $k$ tốt nhất sao cho $f(a;b) \ge k$

Với hằng số $t>0$ bất kỳ

$f(t.a; t.b)=\dfrac{t^2a^2+t^2b^2}{t^2ab}+\dfrac{t^2ab}{t^2a^2+t^2b^2}$

$=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{ab}{a^2+b^2}=f(a;b)$

Điều này cho thấy BDT đúng với $(a,b)$ thì cũng đúng với $(t.a; t.b)$ nên thêm điều kiện ràng buộc giữa $a,b$ vấn không thay đổi kết quả.

Đây là kỹ thuật chuẩn hoá BDT thuần nhất.

Bạn có thể chuẩn hoá tuỳ ý. $ab=1$ cũng được, cố định $a=2$ hay $b=5$ cũng không sao.

Mình chuẩn hoá $a^2+b^2=2$ để bỏ mất cái lằng nhằng nhất trong biểu thức.

 

[eye_smile]

Cách khác:

$P=\dfrac{ab}{a^2+b^2}+\dfrac{a^2+b^2}{4ab}+\dfrac{3(a^2+b^2)}{4ab} \ge 2.\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}.2=\dfrac{5}{2}$

 

[minhhieupy2000]

Áp dụng BĐT Cô-si:
$A=\dfrac{ab}{a^2+b^2} + \dfrac{a^2+b^2}{ab} $ \geq $ 2\sqrt{\dfrac{ab}{a^2+b^2}.\dfrac{a^2+b^2}{ab}} =2 $

 

[huynhbachkhoa23]

Áp dụng BĐT Cô-si:
$A=\dfrac{ab}{a^2+b^2} + \dfrac{a^2+b^2}{ab} $ \geq $ 2\sqrt{\dfrac{ab}{a^2+b^2}.\dfrac{a^2+b^2}{ab}} =2 $

Điều quan trọng hơn là đẳng thức xảy ra khi $a^2+b^2-ab=0$, phương trình này vô nghiệm nên dấu bằng không xảy ra.

 

[transformers123]

Áp dụng BĐT Cô-si:
$A=\dfrac{ab}{a^2+b^2} + \dfrac{a^2+b^2}{ab} $ \geq $ 2\sqrt{\dfrac{ab}{a^2+b^2}.\dfrac{a^2+b^2}{ab}} =2 $

Sai rồi nếu thế thì $a^2+b^2=ab=1$ thi $a,\ b$ bằng bao nhiêu =))