bất đẳng thức cô-si

[minhanh171]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực không âm.
Chứng minh rằng [TEX]A+b+c=\sqrt[2]{ab}+\sqrt[2]{bc}+\sqrt[2]{ac} \Leftrightarrow a=b=c[/TEX]

 

[sam_chuoi]

Cho a,b,c là các số thực không âm.
Chứng minh rằng a+b+c=\sqrt[2]{ab}+\sqrt[2]{bc}+\sqrt[2]{ac} \Leftrightarrow a=b=c

nhân cả 2 vế với 2 ta được $2a+2b+2c=2\sqrt[]{ab}+2\sqrt[]{bc}+2\sqrt[]{ac}$. Chuyển vế rồi biến đổi thành $(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b})^2+(\sqrt[]{b}-\sqrt[]{c})^2+(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{c})^2=0 <=> a=b=c$.

 

[vipboycodon]

Áp dụng bdt cauchy ta có :
$\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ ; $\dfrac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc}$ ; $\dfrac{a+c}{2} \ge \sqrt{ac}$
Cộng vế với vế ta được :
$a+b+c \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$.