Bất đẳng thức cô si, tìm GTNN

[pipilove_khanh_huyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho x, y >0 và x+y=2 Tìm GTNN:
F= ([tex] x^2[/tex] + [tex]\frac{1}{yz}[/tex])([tex] y^2[/tex] + [tex]\frac{1}{xz}[/tex])
2, x,y,z >0 và ( x+y+z)xyz=1
Tìm GTNN Q=(x+y)(x+z)

 

[minhhieupy2000]

1, Cho x, y >0 và x+y=2 Tìm GTNN:
F= ([tex] x^2[/tex] + [tex]\frac{1}{xy}[/tex])([tex] y^2[/tex] + [tex]\frac{1}{xy}[/tex]) Mình có sửa đề bạn xem lại nha

Mình giải lại.
Ta có: $ F = x^2y^2 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{x^2y^2} $
Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số không âm thuộc biểu thức F ở trên, ta có:
$ x^2y^2 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{x^2y^2} $ \geq $ 4\sqrt[4]{x^2y^2\dfrac{x}{y}\dfrac{y}{x}\dfrac{1}{x^2y^2}} $ $=$ 4$ .
$ \Rightarrow $ F_{min} = 4$ \Leftrightarrow $ x=y=\dfrac{2}{2}=1$.
Vậy .....

 

[huynhbachkhoa23]

Cauchy-Schwarz và Cauchy:

$(x^2+\dfrac{1}{xy})(y^2+\dfrac{1}{xy}) \ge (xy+\dfrac{1}{xy})^2 \ge 4$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

 

[eye_smile]

2,$Q=(x+y)(x+z)=x(x+y+z)+yz \ge 2\sqrt{xyz(x+y+z)}=2$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $xyz(x+y+z)=1$ và $x(x+y+z)=yz$