Toán Bất đẳng thức cô-si lớp 9

[Đoàn Minh Đức]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : $ab + bc + ca = 3$
Chứng minh rằng :[tex]a^4 + b^4 + c^4 \geq a\sqrt{bc} + b\sqrt{ca} + c\sqrt{ab}[/tex]

 

[leminhnghia1]

Mọi người giúp mình với :

Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : $ab + bc + ca = 3$
chứng minh rằng : $a^4 + b^4 + c^4 \geq a\sqrt{bc} + b\sqrt{ca} + c\sqrt{ab}$

Áp dụng các bđt phụ sau vào bài:
$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$
$a^2+b^2+c^2 \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$
Ta có:
$a^4+b^4+c^4 \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3}=\dfrac{3.(ab+bc+ca)}{3}=ab+bc+ca$
$\geq \sqrt{ab.ac}+\sqrt{bc.ca}+\sqrt{ca.ab}=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}$ (đpcm)

Dấu "=" $\iff a=b=c=1$