Bài này tuy nhìn đơn giản nhưng lại khó ở chỗ là dạng bài này ta thường đánh giá x+y+z và xyz theo x^2+y^2+z^2=9, nhưng bài này việc dó là không thể, nếu ở lớp trên
Bài này có cách giải rất đẹp như sau. Phương pháp này gọi là phương pháp chuẩn hóa.
Trước hết ta có nhận xét sau :
Xét BDT :f(x,y,z) \le g(x,y,z), trong đó f và g là các hàm đẳng cấp cùng bậc. Ta sẽ chứng minh rằng việc chứng minh BDT đúng với mọi bộ số thực sẽ tương đương với việc chứng minh bài toán trên một miền thu hẹp nào đó thỏa mãn : x^2+y^2+z^2=k.
Thật vậy giả sử bài toán đúng trong miền thu hẹp. Với mỗi bộ (x,y,z) bất kì ta thấy rằng BDT sẽ đúng với bộ (mx, my,mz) vì ta có :
(mx)^2+(my)^2+(mz)^2 =k (Trong đó m=\sqrt{\frac{k}{x^2+y^2+z^2}})
Do tính đẳng cấp của f và g nên BDT cũng đúng với bộ (x,y,z). ĐPCM
Trở lại bài toán. Chọn điều kiện chuẩn hóa là k=9 (Có nhiều cách chọn nhưng ta chọn sao cho thuận tiện nhất, cái này thuộc về bí kíp của mỗi người). Ta sẽ chứng minh bài toán đúng với x^2+y^2+z^2 =9
Thay vào và thu gọn ta được : BDT tương đượng 2(a+b+c)\le abc + 10
\Leftrightarrow [2(a+b) + c(2-ab)]^2 \le 100
Giả sử a^2 \le b^2 \le c^2 (1)
BDT bunhia cho ta : VT \le [(a+b)^2+c^2][2^2+(2-ab)^2]= f(a,b,c)
Ta có f(a,b,c)= (9 +2ab)(8 -4ab+a^2b^2)
Mặt khác từ (1) suy ra a^2+b^2 \le 6
Vậy -3 \le ab \le 3 . Khảo sát f(a,b,c) theo ab ta được ĐPCM
Do vai trò của x,y,z là như nhau nên ta có thể giả sử x≤y≤z
Ta xét các TH của x như sau :
TH1 : x≥0
1,1 : x>34
Do đó ta có 2(x+y+z)−xyz<23(x2+y2+z2)−−−−−−−−−−−−√−(34)3≈9,98<10
1,2 : 0≤x≤34
Do đó ta có 2(x+y+z)−xyz≤2(x+y+z)≤2[2(y2+z2)−−−−−−−−√+x]<2[2.9−−−√+34]≈9,99<10
TH2 : x<0
Đặt f(x,y,z)=2(x+y+z)−xyz
Đễ dàng chứng minh được f(x,y,z)≤f(x,y2+z22−−−−−−√,y2+z22−−−−−−√)
Do đó ta chỉ cần chứng minh trong điều kiện y=z
Bài toán trở thành : Cho x2+2y2=9. Tìm GTLN của 2(x+2y)−xy2 với x<0
Đặt −x=t>0⇒t2+2y2=9, ⇒t=9−2y2−−−−−−√
Ta sẽ chứng minh f(x,y,z)≤10⇔2(2y−9−2y2−−−−−−√)+9−2y2−−−−−−√.y2≤10
⇔(y2−2)9−2y2−−−−−−√≤10−4y
Bình phương 2 vế ta có đpcm
Vậy ta luôn có 2(x+y+z)−xyz≤10
Dấu = xảy ra khi (x,y,z)=(−1;2;2) và các hoán vị của bộ số này
__________________
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
