Bất đẳng thức chuyên khó

[xnzt99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho a,b,c>0. Chứng minh $\frac{a}{4a+4b+c}$ + $\frac{b}{4b+4c+a}$ + $\frac{c}{4c+4a+b}$ \leq $\frac{1}{3}$
2, Cho x,y,z là nghiệm của hệ phương trình x^2+xy+y^2=4 và y^2+yz+z^2=16. Chứng minh xy+yz+xz \leq 8

 

[nguyenkm12]

1, Cho a,b,c>0. Chứng minh $\frac{a}{4a+4b+c}$ + $\frac{b}{4b+4c+a}$ + $\frac{c}{4c+4a+b}$ \leq $\frac{1}{3}$
2, Cho x,y,z là nghiệm của hệ phương trình x^2+xy+y^2=4 và y^2+yz+z^2=16. Chứng minh xy+yz+xz \leq 8

làm được mỗi câu 1
áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm ta có
[TEX]4a+4b+c\geq 3 \sqrt[3]{16abc}[/TEX]
[TEX]4b+4c+a\geq 3 \sqrt[3]{16abc}[/TEX]
[TEX]4c+4a+b\geq 3 \sqrt[3]{16abc}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX]
[TEX]\frac{a}{4a+4b+c}\leq \frac{a}{3 \sqrt[3]{16abc}}[/TEX]
[TEX]\frac{b}{4b+4c+a}\leq \frac{b}{3 \sqrt[3]{16abc}}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{4c+4a+b}\leq \frac{c}{3 \sqrt[3]{16abc}}[/TEX]
(nhớ là mẫu lớn hơn thì phân số nhỏ hơn )
giờ thì bạn cộng 3 bất đẳng thức lại
là thấy rằng vế phải chỉ luôn lớn hơn vế trái và là tích của phân số [TEX]\frac{1}{3}[/TEX] với một số dương >0 nên suy ra dpcm

 

[xnzt99]

làm được mỗi câu 1
áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm ta có
[TEX]4a+4b+c\geq 3 \sqrt[3]{16abc}[/TEX]
[TEX]4b+4c+a\geq 3 \sqrt[3]{16abc}[/TEX]
[TEX]4c+4a+b\geq 3 \sqrt[3]{16abc}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX]
[TEX]\frac{a}{4a+4b+c}\leq \frac{a}{3 \sqrt[3]{16abc}}[/TEX]
[TEX]\frac{b}{4b+4c+a}\leq \frac{b}{3 \sqrt[3]{16abc}}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{4c+4a+b}\leq \frac{c}{3 \sqrt[3]{16abc}}[/TEX]
(nhớ là mẫu lớn hơn thì phân số nhỏ hơn )
giờ thì bạn cộng 3 bất đẳng thức lại
là thấy rằng vế phải chỉ luôn lớn hơn vế trái và là tích của phân số [TEX]\frac{1}{3}[/TEX] với một số dương >0 nên suy ra dpcm

Các giải của bạn có vấn đề. Hình như bạn bị nhầm r đó

 

[nguyenkm12]

Các giải của bạn có vấn đề. Hình như bạn bị nhầm r đó

vấn đề gì bạn nói thẳng ra xem mình thấy có vấn đề gì đâu :|:|:|:|:|:|:|:|:|:|

 

[congchuaanhsang]

Bạn xem laị dấu bằng chỗ này

[TEX]4a+4b+c\geq 3 \sqrt[3]{16abc}[/TEX]
[TEX]4b+4c+a\geq 3 \sqrt[3]{16abc}[/TEX]
[TEX]4c+4a+b\geq 3 \sqrt[3]{16abc}[/TEX]

 

[braga]

$\fbox{1}$. Nhân cả hai vế với $4(a+b+c)$ thì:
$$BDT \iff \dfrac{3ab}{4b+4c+a} +\dfrac{3bc}{4c+4a+b}+\dfrac{3ac}{4a+4b+c} \leq \dfrac{a+b+c}{3}$$
Ta sẽ dựa vào đánh giá:
$$\dfrac{9ac}{4a+4b+c} \le \dfrac{2ac}{2a+b} + \dfrac{ac}{c+2b}$$
Thiết lập đánh giá tương tự và cộng lại.

 

[eye_smile]

Câu 2 pt đầu phải là $x^2+xy+y^2=3$

Chọn $\vec{u}=(y+\dfrac{x}{2};\dfrac{\sqrt{3}x}{2})$

$\vec{v}=(\dfrac{\sqrt{3}z}{2};y+\dfrac{z}{2})$

Có: $|\vec{u}|=\sqrt{3}$

$|\vec{v}|=4$

Mà $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(xy+yz+zx) \le |\vec{u}|.|\vec{v}|=4\sqrt{3}$

\Rightarrow đpcm