Bất đẳng thức- chứng minh BĐT

[thoconcute]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b,c\geq0. Chứng minh:

a) (1+a)(1+b)(1+c)\geq$(1+\sqrt[3]{abc})^3$

b)$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$\geq$\frac{3}{2}$

2. Cho a,b,c>0. Chứng minh:

a) $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$\geq$(a+b+c)^2$

b) $3(a^3+b^3+c^3)$\geq$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

Mọi người giải giúp mình nha! Mình cám ơn!

 

[0973573959thuy]

1b)

Đặt : $M = \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b}$

$N = \dfrac{b}{b + c} + \dfrac{c}{c + a} + \dfrac{a}{ a + b}$

$S = \dfrac{c}{b + c} + \dfrac{a}{c + a} + \dfrac{b}{a + b}$

Ta thấy : S + N = 3.

Mặt khác : Theo bất đẳng thức AM - GM có :

$M + S = \dfrac{a + c}{b + c} + \dfrac{b + a}{c + a} + \dfrac{b + c}{a + b} \ge 3$

$M + N = \dfrac{a + b}{b + c} + \dfrac{b + c}{c + a} + \dfrac{a + c}{a + b} \ge 3$

$\rightarrow 2M + S + N \ge 6 \leftrightarrow 2M + 3 \ge 6 \rightarrow M \ge \dfrac{3}{2} (Q.E.D)$

 

[eye_smile]

1a/
Ta có: $(1+a)(1+b)(1+c)$ \geq ${(1+\sqrt[3]{abc})^3}$
\Leftrightarrow $1+b+a+ab+c+bc+ac+abc$ \geq $1+abc+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{{a^2}{b^2}{c^2}}$
\Leftrightarrow $(a+b+c)+(ab+bc+ca)$ \geq $3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{{a^2}{b^2}{c^2}}$
(luôn đúng theo BĐT AM-GM)

 

[thoconcute]

Mọi người làm theo cách lớp 10 ý ạ! Bất đẳng thức AM-GM trong chương trình học không có, nên thi mà có làm thế cũng không có điểm...(

 

[nguyenbahiep1]

2. Cho a,b,c>0. Chứng minh:

a) $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$\geq$(a+b+c)^2$

b) $3(a^3+b^3+c^3)$\geq$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

Mọi người giải giúp mình nha! Mình cám ơn!

cậu a

[laTEX]VT = a^2+b^2+c^2+(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a})+ (\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{b})+(\frac{a^3}{c}+\frac{c^3}{a}) \\ \\ VT \geq a^2+b^2+c^2 +2ab+2bc+2ac = (a+b+c)^2[/laTEX]

câu b

[laTEX]2(a^3+b^3+c^3) \geq (ab^2+a^2b )+(cb^2+c^2b)+(ca^2+a^2c) \\ \\ a^3+b^3 =(a+b)(a^2+b^2-ab) \geq (a+b).ab[/laTEX]

tương tự với b và c ta cộng dồn lại sẽ được đáp án

 

[thoconcute]

Em cám ơn ạ! Còn câu 1 nữa ạ! Câu b em có cách làm nhưng dài dòng và rắc rối nên thầy chỉ giúp em!

P.s: thấy mấy bạn kêu thầy nên em bắt chước

 

[vuive_yeudoi]

Mọi người làm theo cách lớp 10 ý ạ! Bất đẳng thức AM-GM trong chương trình học không có, nên thi mà có làm thế cũng không có điểm...(

Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức Cauchy đó em .

Nó như thế này :

Cho $ \displaystyle x_1 , x_2 , \ldots , x_n $ là $\displaystyle n$ số thực không âm, có
$$ \frac{x_1+x_2+\ldots +x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n} $$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle x_1=x_2=\ldots = x_n $.

 

[hung.nguyengia2013@yahoo.com.vn]

Mọi người làm theo cách lớp 10 ý ạ! Bất đẳng thức AM-GM trong chương trình học không có, nên thi mà có làm thế cũng không có điểm...(

Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức Côsi đó em. Anh thấy mấy bạn lớp 8,9 trong diễn đàn cũng sử dụng nó rồi mà. Lớp 10 thì em dùng Côsi 2 số thì không phải chứng minh đâu, còn Côsi 3 số như bạn eye_smile dùng ở trên thì anh không chắc vì cô anh hồi đó không cho dùng (anh học cơ bản, NC thì k0 biết )

 

[hung.nguyengia2013@yahoo.com.vn]

Với $x,y,z>0$ ta dễ dàng chứng minh được bđt:
\[\dfrac{{y + z}}{x} + \dfrac{{z + x}}{y} + \dfrac{{x + y}}{z} \ge 6\]
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Áp dụng bđt trên với $x = b + c;y = c + a;z = a + b$ ($a,b,c>0$) ta được:
\[\dfrac{{c + a + a + b}}{{b + c}} + \dfrac{{a + b + b + c}}{{c + a}} + \dfrac{{b + c + c + a}}{{a + b}} \ge 6\]
\[ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{2a}}{{b + c}} + 1 + \dfrac{{2b}}{{c + a}} + 1 + \dfrac{{2c}}{{a + b}} \ge 6\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{3}{2}\]
Dấu "=" xảy ra $x = y = z \Leftrightarrow b + c = c + a = a + b \Leftrightarrow a = b = c$

 

[thoconcute]

Thấy AM_GM gì gì đó lạ!

Bài 1b của anh Hung.gia.... cách đó em làm rồi, nhưng em đăng lên để tìm thêm cách mới hay hơn, cách 1b của bạn đầu khá hay nhưng mà sợ thi làm như thế không được ( khó ) còn cách của mình ( anh Hùng ) thì có rồi, muốn có thêm cách giải hay! ^^

Mọi người giải nốt câu 1b nhé!

 

[vipboycodon]

1b) $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} = \dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}$ (theo bất đẳng thức schwarz)
Ta có : $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)$ => đpcm

 

[thoconcute]

Nếu trong chương trình thi học kì sử dụng bất đẳng thức schward này thì có được không?

Vì mình không có học cái bất đẳng thức này trong chương trình học, chỉ học trên mạng thôi!

Tiếp chiêu: Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của hàm số sau:

$y=\frac{x^3+1}{x^2}$ (1) với x>0

Mình giải như thế này:

Ta có: (1) \Leftrightarrow$y=\frac{(x+1).(x^2-x+1)}{x^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$x+1+x^2-x+1$\geq$2\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}$

\Leftrightarrow$(\frac{x^2+2}{2})^2$\geq$(x+1)(x^2-x+1)$

\Leftrightarrow$\frac{(\frac{x^2+2}{2})^2}{x^2}$\geq$\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^2}$

\Leftrightarrow$\frac{x^4+4x^2+4}{4x^2}$\geq$\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^2}$ (1)

Từ đó có được:

VT=$\frac{x^2}{4}+\frac{1}{x^2}+1$

áp dụng BĐT Cô-si ta có:

VT\geq2 (2)

Mình làm ngang đấy đã đúng chưa? Và tiếp theo làm thế nào để suy ra được GTLN (GTNN) của hàm số đó?

 

[vipboycodon]

Nếu trong chương trình thi học kì sử dụng bất đẳng thức schward này thì có được không?

Vì mình không có học cái bất đẳng thức này trong chương trình học, chỉ học trên mạng thôi!

Hình như không được đâu chị. Em mới học lớp 9 nên cũng không rõ lắm.

 

[eye_smile]

Bài 2a:
Cách khác:
AD BĐT Cauchy -Schwarz, có:
${(a+b+c)^2}={(\sqrt{{a^3}.\dfrac{1}{a}}+\sqrt{{b^3}.\dfrac{1}{b}}+\sqrt{{c^3}.\dfrac{1}{c}})^2}$ \leq $({a^3}+{b^3}+{c^3})(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})$
Suy ra đpcm

 

[quangbao1998]

Mọi người làm theo cách lớp 10 ý ạ! Bất đẳng thức AM-GM trong chương trình học không có, nên thi mà có làm thế cũng không có điểm...(

cách này của lớp 10 đây bạn ơi

câu 1.b
đặt b+c=x a=(y+z-x)/2
c+a=y ==> b=(x+z-y)/2
a+b=z c=(x+y-z)/2
Khi đó BĐT <=> (y+z-x)/2x + (x+z-y)/2y + (x+y-z)/2z

= y/2x + z/2x + x/2y +z/2x + x/2z + y/2z -3/2 (*)

Áp dụng BĐT Cô-Si ta có:

y/2x + x/2y >= 1 (1)
z/2x + x/2z >= 1 (2)
z/2y + y/2z >= 1 (3)
Cộng vế với vế của các BĐT (1) (2) (3) ta được:

y/2x + z/2x + x/2y +z/2x + x/2z + y/2z >=3
==> (*) >= 3 - 3/2 = 3/2
Dấu = xảy ra <=> a = b = c = 1
p/s: xin lỗi mình không biết viết ký tự toán học nên hơi khó nhìn..bạn thông cảm nhé

 

[hung.nguyengia2013@yahoo.com.vn]

1. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:
\[b)\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{3}{2}\]

\[\begin{array}{l}
\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{3}{2}\\
a + b + c = 1\\
VT = \dfrac{{1 - (b + c)}}{{b + c}} + \dfrac{{1 - (c + a)}}{{c + a}} + \dfrac{{1 - (a + b)}}{{a + b}} = 3 - \left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)\\
VT \ge 3 - \dfrac{3}{{2(a + b + c)}} = 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}\\
Dau - bang - xay - ra\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{b + c}} = \dfrac{1}{{c + a}} = \dfrac{1}{{a + b}} \Leftrightarrow b + c = c + a = a + b \Leftrightarrow a = b = c
\end{array}\]

 

[hung.nguyengia2013@yahoo.com.vn]

1. Cho $a,b,c\geq0$. Chứng minh:
$$a) (1+a)(1+b)(1+c)\geq(1+\sqrt[3]{abc})^3$$

\[\begin{array}{l}
\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)(1 + c) \ge {(1 + \sqrt[3]{{abc}})^3}\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + a\\
y = 1 + b\\
z = 1 + c
\end{array} \right.\\
\Rightarrow abc = (x - 1)(y - 1)(z - 1)\\
\Rightarrow xyz \ge {(1 + \sqrt[3]{{(x - 1)(y - 1)(z - 1)}})^3}\\
\Rightarrow {(1 + \sqrt[3]{{(x - 1)(y - 1)(z - 1)}})^3} - xyz \le 0
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
\sqrt[3]{{(x - 1)(y - 1)(z - 1)}} \le \dfrac{{x - 1 + y - 1 + z - 1}}{3} \le \dfrac{{x + y + z}}{3} - 1\\
\Rightarrow 1 + \sqrt[3]{{(x - 1)(y - 1)(z - 1)}} \le \dfrac{{x + y + z}}{3}\\
\Rightarrow {\left( {1 + \sqrt[3]{{(x - 1)(y - 1)(z - 1)}}} \right)^3} \le {\left( {\dfrac{{x + y + z}}{3}} \right)^3}
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
xyz \le {\left( {\dfrac{{x + y + z}}{3}} \right)^3}\\
\Rightarrow {(1 + \sqrt[3]{{(x - 1)(y - 1)(z - 1)}})^3} - xyz \le {\left( {\dfrac{{x + y + z}}{3}} \right)^3} - {\left( {\dfrac{{x + y + z}}{3}} \right)^3} = 0\\
Dau - bang - xay - ra\\
\Leftrightarrow x - 1 = y - 1 = z - 1 \Rightarrow a = b = c
\end{array}\]