Toán Bất đẳng thức chứa căn 9

[linhtrangnguyen08]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]n\epsilon \mathbb{N} ^{*}[/tex].Chứng minh rằng:
[tex]\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}[/tex]

 

[iceghost]

Ta có $$\begin{array}{cc} &\dfrac12 < \dfrac{2}{3} \\
&\dfrac{3}{4} < \dfrac{4}{5} \\
\times &\vdots \\
&\dfrac{2n-3}{2n-2} < \dfrac{2n-2}{2n-1} \\
&\dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{2n}{2n+1} \\
\hline \\
\implies & \dfrac12 \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \dfrac{2n-3}{2n-2} \cdot \dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \dfrac{2n-2}{2n-1} \cdot \dfrac{2n}{2n+1} \\
\iff & \dfrac{1}{2^2} \cdot \dfrac{3^2}{4^2} \cdot \ldots \cdot \dfrac{(2n-3)^2}{(2n-2)^2} \cdot \dfrac{(2n-1)^2}{(2n)^2} < \dfrac{1}{2n+1} \\
\iff & \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \dfrac{2n-3}{2n-2} \cdot \dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} \end{array}$$