Toán 10 Bất đẳng thức Cauchy

[vũ bảo vy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b >0 .CMR:

Mn giúp e ik
E đangg cần gấp ạ

 

[Hungthitkhia]

a) [tex]\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2} \geq \frac{(a+b)^2}{2+2}=\frac{(a+b)^2}{4}=(\frac{a+b}{2})^2[/tex] (bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
Dấu '=' xảy ra khi a=b
b) [tex]\frac{a^3+b^3}{2}=\frac{4(a^3+b^3)}{8}[/tex]
Ta có: [tex]4(a³ + b³) ≥ (a + b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab²[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a³ + b³ - a²b - ab² ≥ 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a²(a - b) - b²(a - b) ≥ 0[/tex]
Ta lại có: [tex](a² - b²)(a - b) ≥ 0[/tex]
Tương tự: [tex](a + b)(a - b)² ≥ 0[/tex] (đúng)
⇨ Bất đẳng thức đầu đúng
Dấu '=' xảy ra khi a=b