Toán 8 Bất đẳng thức Cauchy

[vũ bảo vy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh:1/(a^3+b^3+1) +1/(b^3+c^3+1) +1/(c^3+a^3+1) nhỏ hơn hoặc bằng 1 với mọi a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.
Mn giúp em vs ạ
E đg cần gấp ạ

 

[shorlochomevn@gmail.com]

chứng minh:1/(a^3+b^3+1) +1/(b^3+c^3+1) +1/(c^3+a^3+1) nhỏ hơn hoặc bằng 1 với mọi a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.
Mn giúp em vs ạ
E đg cần gấp ạ

CM BĐT phụ: [tex]a^3+b^3\geq ab.(a+b)[/tex]
thật vậy: có: [tex]a^3+b^3=(a+b).(a^2+b^2-ab)\geq (a+b).(2ab-ab)\\\\ =(a+b).ab[/tex]
dấu "=" <=> a=b
áp dụng có: [tex]L=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\\\\ \leq \frac{1}{ab.(a+b)+1}+\frac{1}{bc.(b+c)+1}+\frac{1}{ca.(c+a)+1}\\\\ =\frac{c}{abc.(a+b)+c}+\frac{a}{abc.(b+c)+a}+\frac{b}{abc.(c+a)+b}\\\\ =\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1[/tex]
dấu "=" <=> a=b=c=1

 

[Hoàng Vũ Nghị]

1 bài tương tự
chứng minh:[tex]\frac{1}{a^3+b^2+1}+\frac{1}{b^3+c^2+1}+\frac{1}{c^3+a^2+1}\leq 1[/tex] với mọi a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.
Giải
[tex](a^3+b^2+1)(\frac{1}{a}+1+\frac{c}{ab})=(a^3+b^2+abc)(\frac{1}{a}+1+\frac{c}{ab})\\\geq (a+b+c)^2\\ \Rightarrow \frac{1}{a^3+b^2+1}\leq \frac{b+ab+c}{ab(a+b+c)^2}=\frac{bc+1+c^2}{(a+b+c)^2}[/tex]
CMTT rồi cộng lại
Khi đó ta cần chứng minh
[tex]a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3\leq (a+b+c)^2\\\Leftrightarrow 3\leq ab+bc+ca[/tex]
(luôn đúng )