Bất đẳng thức Cauchy-Schqwarz

[greentiger]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b,c dương, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. CMR:

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}$ \geq $\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Bài 2: Cho a,b,c dương, a+b+c=1. CMR:

$\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}$ \leq $2(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$

Bài 3: Cho các số thực a,b,c. CMR:

$\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{b^2+(1-c)^2}+\sqrt{c^2+(1-a)^2}$ \geq $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Bài 4: Cho a,b,c dương, abc\geq 8. CMR:

$\frac{(a-1)^2}{a^2+2}+\frac{(b-1)^2}{b^2+2}+\frac{(c-1)^2}{c^2+2}$ \geq $\frac{1}{2}$

Bài 5: Cho a,b,c dương. CMR:

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}[/TEX] \geq $\frac{9}{2}$

 

[braga]

$\fbox{2}.$ Thay $1$ bằng $a+b+c$ thì bất đẳng thức tương đương với việc chứng minh
$$3+ \frac{2a}{b+c}+ \frac{2b}{c+a}+ \frac{2c}{a+b} \le 2 \left( \frac ab+ \frac bc+ \frac ca \right)$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $\dfrac{2a}{b+c} \le \dfrac{a}{2} \left( \dfrac 1b + \dfrac 1c \right), \dfrac{2b}{a+c} \le \dfrac b2 \left( \dfrac 1a + \dfrac 1c \right), \dfrac{2c}{a+b} \le \dfrac{c}{2} \left( \dfrac 1a + \dfrac 1b \right)$.
Như vậy, ta cần chứng minh $$\frac 32 \left( \frac ab + \frac bc + \frac ca \right) \ge \frac 12 \left( \frac ac + \frac ba + \frac cb \right)+3$$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $\dfrac ab+ \dfrac bc \ge 2 \dfrac ac, \; \dfrac bc+ \dfrac ca \ge 2 \dfrac ba, \; \dfrac ab + \dfrac ca \ge 2 \dfrac cb$. Cộng lại thì ta có $$\dfrac ab+ \dfrac bc + \dfrac ca \ge \dfrac ac+ \dfrac ba + \dfrac cb$$
Như vậy thì $$\frac 32 \left( \frac ab + \frac bc + \frac ca \right) \ge \dfrac 12 \left( \dfrac ca + \dfrac ba + \dfrac cb \right)+ \frac ab + \frac bc + \frac ca \ge \frac 12 \left( \frac ac + \frac ba + \frac cb \right)+3$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c= \dfrac 13$

 

[braga]

$\fbox{3}. \ \text{Áp dụng bất đẳng thức Minkovsky ta có:} \\ VT\ge \sqrt{(a+b+c)^2+[3-(a+b+c)]^2} \\ \text{Đặt} \ a+b+c=x \ \text{Thì ta có:} \\ VT\ge \sqrt{x^2+(3-x)^2}=\sqrt{2x^2-6x+9}=\sqrt{2(x-1,5)^2+4,5}\ge \sqrt{4,5}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ \fbox{5}. \ \text{Dễ dàng chứng minh:} \\ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3 \ \text{và} \ \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\ge \dfrac{3}{2} \\ \text{Từ đó suy ra đpcm}.$

 

[braga]

$\fbox{4}.$ Biến đổi đưa về chứng minh
$$\dfrac{1}{a^2+2}+\dfrac{1}{b^2+2}+\dfrac{1}{c^2+2}\ge \dfrac{1}{2}$$
Vì $abc\ge 8$ nên tồn tại $x,y,z$ sao cho $a=\dfrac{x+y}{z};b=\dfrac{y+z}{x};c=\dfrac{x+z}{y}$
Hay chứng minh
$$\dfrac{1}{\dfrac{(x+y)^2}{z^2}+2}+\dfrac{1}{ \dfrac{ (z+y)^2}{x^2}+2}+\dfrac{1}{\dfrac{(x+z)^2}{y^2}+2}\ge \dfrac{1}{2}$$
Suy ra
$$\dfrac{z^2}{(x+y)^2+2z^2}+\dfrac{x^2}{(z+y)^2+2x^2}+\dfrac{y^2}{(x+z)^2+2y^2}\ge\dfrac{1}{2}$$
Lại có $$\sum \dfrac{x^2}{(z+y)^2+2x^2} \ge \dfrac{x^2}{2(x^2+y^2+z^2)}+\dfrac{y^2}{2(x^2+y^2+z^2)}+\dfrac{z^2}{2(x^2+y^2+z^2)}\ge \frac{1}{2}$$

 

[bosjeunhan]

Anh không thấy bài một

Hình như e chưa làm được thì phải...a gợi ý chút nhé ~ a cũng nhác ^^

Chia hay vế cho $\sqrt{abc}$, thay $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$ và đưa thành tổng bình phương thì phải =))

 

[conga222222]

$\eqalign{
& co\;bat\;dang\;thuc\;mincopski\;cho\;3\;so: \cr
& \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{m^2} + {n^2}} \geqslant \sqrt {{{\left( {a + x + m} \right)}^2} + {{\left( {b + y + n} \right)}^2}} \;\left( {tu\;tim\;chung\;minh\;cho\;bdt\;nay\;nhe\;tren\;mang\;rat\;nhieu} \right) \cr
& dat\;\frac{1}{a} = x,\;\frac{1}{b} = y,\;\frac{1}{c} = z \cr
& \to x + y + z = 1 \cr
& bdt\;da\;cho\;tro\;thanh: \cr
& \sqrt {\frac{1}{x} + \frac{1}{{yz}}} + ... \geqslant \sqrt {\frac{1}{{xyz}}} + \sqrt {\frac{1}{x}} + ... \cr
& \leftrightarrow \sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + xy} \geqslant 1 + \sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} \cr
& ap\;dung\;mincopski: \cr
& \sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + xy} \geqslant \sqrt {{{\left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} } \right)}^2}} = 1 + \sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} \;\left( {do\;x + y + z = 1} \right) \cr} $