Bất đẳng thức cần giúp đỡ

[tettrungthu17896]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]x,y,z>0[/TEX] thoả mãn [TEX]xyz=1[/TEX].CMR:

[TEX]\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 1[/TEX]

Giúp đỡ cái nha!!

 

[trinhan225t]

Mình tóm tắt bước giải nha:
Đặt: a=[TEX]\frac{1}{1+x}[/TEX],b=[TEX]\frac{1}{1+y}[/TEX],c=[TEX]\frac{1}{1+z}[/TEX].Gọi S=a+b+c và Q=ab+bc+ca
GT xyz=1 suy ra abc=(1-a)(1-b)(1-c) suy ra 2abc=1-S+Q
Khi đó bài toán trở thành:[TEX]a^2+b^2+c^2+2abc[/TEX][TEX]\geq1[/TEX]
Đến đây bạn tự biến đổi vài bước nữa rồi xét từng TH:S.
Mình mới tham gia diễn đàn nên chưa rành CT.hihi

 

[jet_nguyen]

Từ giả thiết ta có thể giả sử trong ba số $x,y,z$ có $x,y$ sao cho $(x-1)(y-1) \ge 0$
Thế thì ta có $ab+1 \ge a+b$ thay vào ta có
$\dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(y + 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \dfrac{2}{{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}}$
$ \ge \dfrac{2}{{(x + 1)(y + 1)}} + \dfrac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \dfrac{2}{{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}} $
$
= \dfrac{1}{{xy + 1}} + \dfrac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{(xy + 1)(z + 1)}}$
$ = \dfrac{z}{{z + 1}} + \dfrac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \dfrac{z}{{{{(z + 1)}^2}}} = 1$

 

[star_music]

Cách Khác:

Qui đồng và đặt ẩn phụ theo:

$x+y+z=p$ và $xy+yz+zx=q$

Ta thu được BĐT cần CM:

$p^2-3 \ge 2q$

Đúng vì ta có:$p^2 \ge 3q$

$q \ge 3$

Bài toán đc CM