Bất Đẳng Thức Bunhia

[ngobaotuan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho 3a-4b=7
CM : 3a^2 + 4b^2\geq 7

2. Cho 2a-3b=7
CM : 3a^2 + 5b^2 \geq 725/47

3. Cho: 3a-5b=8
CM : 7a^2 + 11b^2 \geq 2464/137

4. Cho: a+b=2
CM : a^4 + b^4 \geq 2

5. Cho : a+b>=1
CM: a^2 + b^2 \geq 1/2

 

[soccan]

$5\\
(a+b)^2 \le (1^2+1^2)(a^2+b^2)\\
\Longleftrightarrow 1 \le 2(a^2+b^2)\\
\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2} \le a^2+b^2$

 

[lisel]

Câu 4:
Từ a + b = 2 bình phương hai vế ta có : (a + b)² = 4
<=> a² + b² +2ab = 4 (1)
Ta lại có (a - b)² ≥ 0 với mọi a, b
<=> a² + b² - 2ab ≥ 0 (2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta có:
2(a² + b²) ≥ 4 hay (a² + b²) ≥ 2 ; bình phương hai vế ta lại có:
a⁴ + 2a²b² + b⁴ ≥ 4 (3)
Ta lại có: (a² - b²)² ≥ 0 với mọi a,b
<=> a⁴ - 2a²b² + b⁴ ≥ 4 (4)
Cộng từng vế (3) và (4) ta có: 2(a⁴ + b⁴) ≥ 4 hay a⁴ + b⁴ ≥ 2 (Đpcm).

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4:

Cách 1: $a^4 + 1+1+1 \ge 4b$

$b^4+1+1+1 \ge 4a$

Cộng vào $a^4+b^4 \ge 4(a+b)-6=2$

Cách 2: Áp dụng BDT Bunyakovsky: $2(a^4+b^4) \ge \left (a^2+b^2 \right )^2$

Cũng theo Bunyakovsky: $2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2 = 4 \to (a^2+b^2)^2 \ge 4$

$\to a^4+b^4 \ge 2$

 

[huuthuyenrop2]

5.Ta có:
$2(a^2+b^2)$ \geq $(a+b)^2$ \geq $1$
\Rightarrow $a^2+b^2$ \geq $\frac{1}{2}$