Toán 9 Bất Đẳng Thức AM-GM

[tuankietbest]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.
CMR: [tex]\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}[/tex]
xin cảm ơn

 

[7 1 2 5]

[tex]\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}=\frac{a(c+1)+b(a+1)+c(b+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{(ab+bc+ca)+(a+b+c)}{abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1}=\frac{(ab+bc+ca)+(a+b+c)}{(ab+bc+ca)+(a+b+c)+2}[/tex]
Đặt [tex]p=a+b+c,q=ab+bc+ca[/tex]
[tex]\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}=\frac{p+q}{p+q+2}[/tex]
Cần chứng minh [tex]\frac{p+q}{p+q+2}\geq \frac{3}{4}\Rightarrow 4(p+q)\geq 3(p+q+2)\Leftrightarrow p+q\geq 6\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\geq 6[/tex]
Thật vậy, ta có [tex]ab+bc+ca+a+b+c\geq 6\sqrt[6]{ab.bc.ca.a.b.c}=6\sqrt{abc}=6[/tex]
Vậy BĐT được chứng minh.

 

[iiarareum]

Do a,b,c dương [tex]=> 4[a(c+1)+b(a+1)+c(b+1)]\geq 3(a+1)(b+1)(c+1) <=> ab+bc+ca+a+b+c-3abc-3 \geq 0 <=> ab+bc+ca+a+b+c - 6\geq 0[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy với a,b,c dương [tex]ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3 ; a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3[/tex] => đpcm