[bất đẳng thức]_cùng ôn đê

P

puu

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX][/TEX]
M
MÌNH LẬP RA TOPIC NÀY ĐỂ ĐƯA RA MỘT SỐ KĨ THUẬT CM BDT
MONG CÁC BẠN THAM GIA NHIỆT TÌNH
I, BDT AM_GM VÀ CÁC KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI, KĨ THUẬT CHUẨN HOÁ, KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ,
KĨ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU
1. Bất đẳng thức AM_GM
Dạng tổng quát:Với n số không âm [TEX]a_1;a_2;...a_n[/TEX] ta có:
[TEX]\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}[/TEX]
dấu = xảy ra \Leftrightarrow[TEX]a_1=a_2=...=a_n[/TEX]
2. Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bdt AM_GM
ví dụ 1:CM :a,b>0; a+b=1 thì [TEX]\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2}\geq14[/TEX]
Sai lầm thường gặp đó là:VT=[TEX]\frac{2}{ab}+2ab+\frac{3}{a^2+b^2}+a^2+b^2-(a+b)^2\geq4+2\sqrt{3}-1[/TEX]
Phân tích:ta cần đánh giá VT>VP nên khi áp dụng BDT AM_GM ta cần
đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Đây là BDT
đối xứng 2 biến do vậy ta dự đoán dấu = xảy ra tại a=b=1/2( Người ta gọi là điểm rơi)
Cũng với cách thức như trên nhưng bây giờ ta biến đổi vt như sau:
VT=[TEX]\frac{2}{ab}+\alpha ab+\frac{3}{a^2+b^2}+\beta(a^2+b^2)-\alpha ab-\beta(a^2+b^2)[/TEX]
cần chọn [TEX]\alpha;\beta[/TEX] sao cho khi áp dụng BDT AM_GM thì dấu = xảy ra tại a=b=1/2
ta có[TEX]\left{\begin{\frac{2}{ab}=\alpha ab}\\{a=b=1/2}\Rightarrow\alpha=32[/TEX]
[TEX]\left{\begin{\frac{3}{a^2+b^2}=\beta(a^2+b^2)}\\{a=b=1/2}\Rightarrow\beta=12[/TEX]
GIẢI:VT=[TEX]\frac{2}{ab}+32ab+\frac{3}{a^2+b^2}+12(a^2+b^2)-32ab-12(a^2+b^2)[/TEX]
\geq[TEX]2\sqrt{\frac{2}{ab}.32ab}+2\sqrt{\frac{3}{a^2+b^2}.12(a^2+b^2)}-12(a^2+b^2)-8ab[/TEX]
\geq[TEX]16-8ab[/TEX]
\geq[TEX]16-8.\frac{(a+b)^2}{4}=14[/TEX]
dấu = xảy ra tại a=b=1/2
 
Last edited by a moderator:
P

puu

ví dụ 2:cho a,b,c,d>0. tìm min S=[TEX](1+\frac{2a}{3b})(1+\frac{2b}{3c})(1+\frac{2c}{3d})(1+\frac{2d}{3a})[/TEX]
sai lầm thường gặp đó là:
S\geq[TEX]2\sqrt{\frac{2a}{3b}}.2\sqrt{\frac{2b}{3c}}.2\sqrt{\frac{2c}{3d}}.2\sqrt{\frac{2d}{3a}}=64/9[/TEX]
vậy S min = 64/9
Phân tích:ta cần tìm min S tức là cần đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân như đã làm như trên nhưng phải dự đoán dấu = xayr ra tại a=b=c=d. khi đó
2a/3b có vai trò như 2/3
GIẢI: ta có [TEX]1+\frac{2a}{3b}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{a}{3b}+\frac{a}{3b}[/TEX]
\geq[TEX]\frac{5}{3}.\sqrt[5]{\frac{a^2}{b^2}}[/TEX]
đánh giá tương tự cho 4 hạng tử còn lại của VT ta có:
S\geq[TEX](\frac{5}{3})^4.\sqrt[5]{\frac{a^2}{b^2}.\frac{b^2}{c^2}.\frac{c^2}{d^2}.\frac{d^2}{a^2}}=(\frac{5}{3})^4[/TEX]
vậy S min =[TEX](\frac{5}{3})^4[/TEX]\Leftrightarrowa=b=c=d
 
Last edited by a moderator:
P

puu

ví dụ 3:
CM với a,b,c >0 ta có:[TEX]\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\geq a+b+c[/TEX]
GIẢI: ta có :[TEX]\frac{a^3}{bc}+b+c\geq3\sqrt[3]{\frac{a^3}{bc}.bc}=3a[/TEX]
tương tự cho hai số hạng còn lại
ta có điều phải chứng minh
Nhận xét:mục đích là khử mẫu . Vì các số hạng của VT là bậc 1 nên cộng thêm biểu thức cũng là bậc 1
trên tinh thần đó ta làm tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 4:CM với a,b,c>0 ta có:[TEX]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}=\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca[/TEX]
GIẢI: [TEX]\frac{a^3}{b}+ab\geq2a^2[/TEX]
áp dụng tương tự cho các số hạng còn lại
VT\geq[TEX]2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)\geq ab+bc+ca[/TEX]\Rightarrowđpcm
Ví dụ 5:CM với:[TEX]\left{\begin{a,b,c>0}\\{a^2+b^2+c^2=1}[/TEX]
ta có:[TEX]\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\geq\frac{1}{3}[/TEX]
Sai lầm thường gặp đó là : Áp dụng AM_GM : [TEX]\frac{a^3}{b+2c}+a(b+2c)\geq2a^2[/TEX]
GIẢI: ta có: [TEX]\frac{a^3}{b+2c}+\frac{1}{9}a(b+2c)\geq\frac{2}{3}a^2[/TEX]
tương tự cho 2 số hạng còn lại , cộng vế theo vế ta có:
VT\geq[TEX]\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geq\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=1/3[/TEX]
Ví dụ 6:CM với [TEX]\left{\begin{a,b,c>0}\\{ab+bc+ca=1}[/TEX]
ta có:[TEX]\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\leq\frac{3}{2}[/TEX]
Sử dụng giả thiết đưa [TEX]\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}[/TEX] về đồng bậc 0 cả hai vế của BDT
ta có:[TEX]\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{a+c}}\leq\frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})[/TEX]
áp dụng tương tự cho 2 số hạng còn lại ta có ĐPCM
Ví dụ 7:cho a,b,c>0 và abc=1. CM: [TEX]\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac{3}{2}[/TEX]
GIẢI: sử dụng giả thiết biến đổi về đồng bậc 0 ở 2 vế
VT=[TEX]\frac{abc}{a^3(b+c)}+\frac{abc}{b^3(a+c)}+\frac{abc}{c^3(a+b)}[/TEX]
=[TEX]\frac{bc}{a^2(b+c)}+\frac{ac}{b^2(a+c)}=\frac{ab}{c^2{a+b)}[/TEX]
=[TEX]\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}[/TEX]
Đặt [TEX]x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}[/TEX] thì xyz=1
BDT trở thành: [TEX]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{3}{2}[/TEX]
Đến đây các bạn áp dụng BDT schwarz là ra
Ví dụ 8:cho a,b,c>0 và abc=1. CM [TEX]\frac{a^2(b+c)}{b\sqrt{b}+2c\sqrt{c}}+\frac{b^2(c+a)}{c\sqrt{c}+2a\sqrt{a}}+\frac{c^2(a+b)}{a\sqrt{a}+2b\sqrt{b}}\geq2[/TEX]
VT\geq[TEX]\frac{a^22\sqrt{bc}}{b\sqrt{b}+2c\sqrt{c}}+\frac{b^22\sqrt{ca}}{c\sqrt{c}+2a\sqrt{a}}+\frac{c^22\sqrt{ab}}{a\sqrt{a}+2b\sqrt{b}}[/TEX]
=[TEX]\frac{2a\sqrt{a}}{b\sqrt{b}+2c\sqrt{c}}+\frac{2b\sqrt{b}}{c\sqrt{c}+2a\sqrt{a}}+\frac{2c\sqrt{c}}{a\sqrt{a}+2b\sqrt{b}}[/TEX]
Đặt [TEX]x=a\sqrt{a};y=b\sqrt{b};z=c\sqrt{c}[/TEX] thì xyz=1
ta đi CM [TEX]\frac{2x}{y+2z}+\frac{2y}{z+2x}+\frac{2z}{x+2y}\geq2[/TEX]
đến đây dùng điểm rơi trogn cauchy ta có
[TEX]\frac{2x}{y+2z}+\frac{2}{9}(y+2z)\geq2.\frac{2}{3}.\sqrt{x}=\frac{4}{3}\sqrt{x}[/TEX]
đánh giá tương tự cho các số hạng còn lại ta có:
VT\geq[TEX]\frac{4}{3}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})-\frac{2}{3}(x+y+z)\geq\frac{4}{3}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}-\frac{2}{3}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{4}{3}.3-\frac{2}{3}.3=4-2=2[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
P

puu

Ai đó giúp mình sửa một số chỗ đi nha
thank nhiu nhìu
Nhận xét:Qua hai ví dụ 7 và 8 ta thấy nếu 1 BDT cồng kềnh ta có thể chọn 1 phép đặt ẩn phụ thích hợp thì thu đc 1 BDT đơn giản hơn
và các bạn cũng nên chú ý đến sự đồng bậc
SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG:
BÀI 1:cho a,b,c>0. CM:[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq\frac{3}{4}[/TEX]
Bài 2:
cho [TEX]\left{\begin{a,b,c>0}\\{a+b+c=1}[/TEX]
CM: [TEX]\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq9/4[/TEX]
Bài 3:
cho[TEX]\left{\begin{a,b,c>0}\\{a+b+c=1}[/TEX]
CM: [TEX]\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\leq1/2[/TEX]
bài 4: cho x,y,z thỏa mãn:x(x+y+z)\geq3xyz
CM: [TEX](x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(x+z)(y+z)\leq5(y+z)^3[/TEX]
lần sau mình sẽ đưa ra kĩ thuật chuẩn hóa BDT. kĩ thuật này rất hay
mong các bạn cugnx nhiệt tình ủng hộ
 
Last edited by a moderator:
P

puu

XEM RA CÓ VẺ ÍT NGƯỜI THAM GIA QUÁ NHỈ///////
SAU ĐÂY MÌNH XIN GIỚI THIỆU KĨ THUẬT CHUẨN HOÁ BDT THUẦN NHẤT
1. ĐỊNH NGHĨA HÀM THUẦN NHẤT BA BIẾN SỐ
Hàm số [TEX]f(a,b,c)[/TEX] lf hàm số thuần nhất bậc k trên D nếu [TEX]f(ta,tb,tc)=t^k.f(a,b,c)[/TEX]. với mọi a.b.c.d.t thuộc D
Ví dụ:a. Xét [TEX]f(a,b,c)=\frac{a}{\sqrt{a^2+bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab}}[/TEX]
Rõ ràng nếu đặt [TEX]a'=\frac{a}{t};b'=\frac{b}{t};c'=\frac{c}{t}[/TEX](t bất kì) thì :
[TEX]f(a,b,c)=\frac{a'}{\sqrt{a'^2+b'c'}}+\frac{b'}{\sqrt{b'^2+a'c'}}+\frac{c'}{\sqrt{c'^2+a'b'}}=f(a',b',c'}[/TEX]
Như vậy hàm đã cho gọi là hàm số thuàn nhất bậc 0
b. tương tự hàm số [TEX]f(a,b,c)=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}[/TEX] là hàm thuần nhất bậc 1
2. Chuẩn hoá bdt
Ví dụ 1: Với a,b,c>0. CM: [TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{a+b+c}{2}[/TEX] (*)
Rõ ràng đây là BDT thuần nhất bậc 1.
GIẢI: Đặt [TEX]a'=\frac{a}{t};b'=\frac{b}{t};c'=\frac{c}{t}, t>0[/TEX]bất kì
thì : BDT đã cho trở thành [TEX]\frac{a'^2}{b'+c'}+\frac{b'^2}{a'+c'}+\frac{c'^2}{a'+b'}\geq\frac{a'+b'+c'}{2}[/TEX]
nếu chọn t=a+b+c thì a'+b'+c'=1
rõ ràng BDT này không hề thay đổi gì so với BDT ban đầu, chỉ có thêm đk là a'+b'+c'=1
vậy ta đi CM (*) với đk thêm là a+b+c=1
(*)\Leftrightarrow[TEX]\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{c^2}{1-c}\geq\frac{1}{2}[/TEX]
Đến đây dùng điểm rơi trong BDT AM_GM :
[TEX]\frac{a^2}{1-a}+\frac{1}{4}.(1-a)\geq a[/TEX]
áp dụng tương tự cho 2 số hạng còn lại. cộng vế với vế ta có đpcm
Ví dụ 2: cho a,b >0 . tìm min P=[TEX]\frac{a^2b+ab^2}{a^3+b^3}+\frac{(a+b)^2}{ab}[/TEX]
GIẢI: Rõ ràng P là BDT thuần nhất bậc 0 đối với a,b. không mất tính tổng quát ta giả sử a+b=2( các bạn cũng có thể chuẩn hoá a+b=1 tuỳ theo tính hữu ích)
khi đó P=[TEX]\frac{ab}{4-3ab}+\frac{4}{ab}[/TEX]
đến đây có thể xem a,b là biến với 0<ab\leq1 và dùng kĩ thuật hàm số
ĐS: Pmin =5 khi a=b
 
P

puu

[TEX]\[/TEX]
Ví dụ 3: Cho a,b,c>0. CM [TEX]\frac{a}{(b+c)^3}+\frac{b}{(c+a)^3}+\frac{c}{(a+b)^3}\geq\frac{27}{8(a+b+c)^2}[/TEX]
GIẢI: do BDT thuần nhất đối với a,b,c nên không mất tính tổng quát giả sử a+b+c=1(các bạn cũng có thể chuẩn hoá a+b+c=3 và giả tương tự như sau đây)
BDT trở thành [TEX]\frac{a}{(b+c)^3}+\frac{b}{(c+a)^3}+\frac{c}{(a+b)^3}\geq\frac{27}{8}[/TEX]
ta có [TEX]\frac{a}{(b+c)^3}=\frac{2a^2}{2a(1-a)(1-a)(1-a)}\geq\frac{2a^2}{(\frac{2a+1-a+1-a}{3})^3.(1-a)}=\frac{27a^2}{4(1-a)}[/TEX]
áp dụng tương tự cho các số hạng còn lại rồi áp dụng BDT svac xơ
VÍ dụ 4:cho a,b,c>0.CM [TEX]\frac{\sqrt{3(a^3+b^3+c^3)}}{3abc}\geq\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{ab+bc+ca}[/TEX]
BDT là thuần nhất bậc -3/2. không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
[TEX]a^3+b^3+c^3=3[/TEX]. BDT trở thành
[TEX]\frac{1}{abc}\geq\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{ab+bc+ca}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]ab+cb+ca\geq abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})[/TEX]
vì [TEX]0<abc\leq\frac{a^3+b^3+c^3}{3}=1[/TEX] nên [TEX]abc\leq\sqrt{abc}[/TEX]
mặt khác: [TEX]\frac{ab+bc}{2}\geq b\sqrt{ac}[/TEX]
[TEX]\frac{bc+ca}{2}\geq c\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]\frac{ca+ab}{2}\geq a\sqrt{bc}[/TEX]
suy ra [TEX]ab+bc+ca\geq\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})[/TEX]\Rightarrowđpcm
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom