K
kachia_17
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Một số cách cơ bản chứng minh bất
đẳng thức
đẳng thức
I.Phương pháp dùng định nghĩa:
Để chứng minh [tex] A\ge B [/tex] ta cần chứng minh [tex] A-B \geq 0[/tex]
VD1(Lớp 8 ):
Chứng minh rằng [tex] ( a+b) ^2 \geq 4ab[/tex]
Lời giải :Ta có [tex]( a+b) ^2 - 4ab = a^2+2ab+b^2- 4ab = a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \geq 0 [/tex]
Do đó [tex] (a+b)^2 \ge 4ab[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi a=b.
VD2 (Lớp 9):
Chứng minh rằng: [tex]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} \ \forall a,b \geq 0[/tex]
Lời giải : Ta có [tex]\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \geq 0[/tex]
Do đó : [tex]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi a=b.
Ví dụ 2 là bất đẳng thức Cauchy cho 2 số ( Cauchy ( 1789-1857)_ Nhà toán học Pháp )
Để chứng minh [tex] A\ge B [/tex] ta cần chứng minh [tex] A-B \geq 0[/tex]
VD1(Lớp 8 ):
Chứng minh rằng [tex] ( a+b) ^2 \geq 4ab[/tex]
Lời giải :Ta có [tex]( a+b) ^2 - 4ab = a^2+2ab+b^2- 4ab = a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \geq 0 [/tex]
Do đó [tex] (a+b)^2 \ge 4ab[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi a=b.
VD2 (Lớp 9):
Chứng minh rằng: [tex]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} \ \forall a,b \geq 0[/tex]
Lời giải : Ta có [tex]\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \geq 0[/tex]
Do đó : [tex]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi a=b.
Ví dụ 2 là bất đẳng thức Cauchy cho 2 số ( Cauchy ( 1789-1857)_ Nhà toán học Pháp )
Bài tập áp dụng :
Bài 1 ( lớp 8 ): Chứng minh rằng
[tex](a+b)^2 \le 2(a^2+b^2}[/tex]
Bài 2 ( lớp 8 ): Chứng minh rằng
[tex] x^2+2y^2+z^2 \geq 2xy-2yz[/tex]
Bài 3 ( lớp 8 ): Chứng minh rằng
[tex]a^2+b^2+c^2+3 \geq 2(a+b+c)[/tex]
Bài 4 ( lớp 8 ): Chứng minh rằng
[tex]\frac{a^2}{4}+b^2+c^2 \geq ab-ac+2bc[/tex]
Bài 5( lớp 8): Chứng minh rằng.
[tex]4a^4 + 5a^2 \geq 8a^3 + 2a -1 [/tex]
Bài 6 ( lớp 8 ):Chứng minh rằng .
[tex] a^2 + b^2 +c^2 +d^2 +e^2 \geq a( b+c+d+e)[/tex]
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường chuyên Lê Hồng Phong ,TP Hồ Chí Minh 2001-2002
Bài 7( lớp 8 ):Chứng minh rằng
[tex]a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) \geq 6abc[/tex]
Bài 8 (lớp 8 ):Chứng minh rằng
[tex](ax+by)^2 \leq (a^2+b^2)(x^2+y^2)[/tex]
Bất đẳng thức Bunhiacopxki .
Bài 9 (lớp 8 ):Chứng minh rằng
[tex] a^4+3 \geq 4a[/tex]
Bài 10 (lớp 9) chứng minh rằng.
[tex]\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1} \geq 2[/tex]
Bài 11 ( lớp 8) Chứng minh rằng
[tex]a^4+b^ 4 \geq a^3b+b^3a[/tex]
Đề thi vào lớp 10 trường chuyên Lê Hồng Phong ,1998-1999
Bài 12 (lớp 8) chứng minh rằng :
[tex]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/tex]
Bài 1 ( lớp 8 ): Chứng minh rằng
[tex](a+b)^2 \le 2(a^2+b^2}[/tex]
Bài 2 ( lớp 8 ): Chứng minh rằng
[tex] x^2+2y^2+z^2 \geq 2xy-2yz[/tex]
Bài 3 ( lớp 8 ): Chứng minh rằng
[tex]a^2+b^2+c^2+3 \geq 2(a+b+c)[/tex]
Bài 4 ( lớp 8 ): Chứng minh rằng
[tex]\frac{a^2}{4}+b^2+c^2 \geq ab-ac+2bc[/tex]
Bài 5( lớp 8): Chứng minh rằng.
[tex]4a^4 + 5a^2 \geq 8a^3 + 2a -1 [/tex]
Bài 6 ( lớp 8 ):Chứng minh rằng .
[tex] a^2 + b^2 +c^2 +d^2 +e^2 \geq a( b+c+d+e)[/tex]
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường chuyên Lê Hồng Phong ,TP Hồ Chí Minh 2001-2002
Bài 7( lớp 8 ):Chứng minh rằng
[tex]a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) \geq 6abc[/tex]
Bài 8 (lớp 8 ):Chứng minh rằng
[tex](ax+by)^2 \leq (a^2+b^2)(x^2+y^2)[/tex]
Bất đẳng thức Bunhiacopxki .
Bài 9 (lớp 8 ):Chứng minh rằng
[tex] a^4+3 \geq 4a[/tex]
Bài 10 (lớp 9) chứng minh rằng.
[tex]\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1} \geq 2[/tex]
Bài 11 ( lớp 8) Chứng minh rằng
[tex]a^4+b^ 4 \geq a^3b+b^3a[/tex]
Đề thi vào lớp 10 trường chuyên Lê Hồng Phong ,1998-1999
Bài 12 (lớp 8) chứng minh rằng :
[tex]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/tex]
Đề thi vào lớp 10 trường chuyên Lê Hồng Phong ,2001-2002
Bài 13(lớp 8) chứng minh rằng :
[tex]a^2+b^2+c^2+d^2 \geq (a+b)(c+d)[/tex]
Bài 14 (lớp 8) : Cho a,b,c >0
Chứng minh rằng : [tex](a+b+c)(\frac 1a+\frac 1b+\frac 1c) \geq 9[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2+d^2 \geq (a+b)(c+d)[/tex]
Bài 14 (lớp 8) : Cho a,b,c >0
Chứng minh rằng : [tex](a+b+c)(\frac 1a+\frac 1b+\frac 1c) \geq 9[/tex]