Toán Bất đẳng thức 9

[lucky1201]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh rằng [tex]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}[/tex] (x, y, z > 0)

Bài 2: Cho a + b + c > 0; abc > 0; ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0.

Bài 3: Chứng minh rằng [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq 1,5[/tex] (a, b, c > 0)

Bài 4: Chứng minh rằng (a + b) (b + c) (c + a) [tex]\geq[/tex] 8abc (a, b, c [tex]\geq[/tex] 0)

Bài 5: Chứng minh rằng [tex]a^2+b^2+c^2+d^2\geq 4\sqrt{abcd}[/tex] (a, b, c, d [tex]\geq[/tex] 0)

Bài 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4[/tex].
Chứng minh [tex]\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}<1[/tex].

Bài 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b) [tex]\leq[/tex] ab.

Bài 8: Cho x, y, z > 0; x+y+z = 1. Chứng minh rằng [tex]\frac{3}{xy+z+xz}+\frac{2}{z^2+y^2++z^2}>14[/tex].

Bài 9: Cho 2 số có tổng không đổi. Chứng minh rằng tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.

Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng [tex]\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})[/tex].

 

[matheverytime]

Câu 1) đề bị sai r bạn đáng lẽ là >= z/y+x/z+y/x ms đúng chớ

 

[huongkarry19992003@gmail.com]

Bài 9: Cho 2 số có tổng không đổi. Chứng minh rằng tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.

Xét hai số dương có tích bằng a( a là hằng số )
Ta có: [tex](x+y)^{2} \geq 4xy = 4a[/tex]
Xảy ra dấu đẳng thức khi x = y
Vì x, y > 0 nên x + y nhỏ nhất [tex]\Leftrightarrow \left ( x+y \right )^{2}[/tex] nhỏ nhất [tex]\Leftrightarrow x = y[/tex]

 

[huongkarry19992003@gmail.com]

Bài 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b) [tex]\leq[/tex] ab.

Bạn học bđt cô si chưa? nếu chưa thì ta chứng minh trước:
*Cho x, y là hai số không âm,
ta có: x + y ≥ 2√(xy). Hay √(xy) ≤ (x + y) / 2
CM: (√x - √y)^2 ≥ 0
<=> x - 2√xy + y ≥ 0
<=> x + y ≥ 2√xy. dấu đẳng thức khi x = y
*Ta áp dụng bđt cô si:
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên:
(a+b-c), (a-b+c), (-a+b+c) là ba số dương. Ta có:
√(a + b – c)*√(a – b + c) ≤ (a + b – c + a – b + c) / 2 = a (1)
√(a - b + c)*√(- a + b + c) ≤ (a – b + c – a + b +c) / 2 = c (2)
√(-a + b – c)*√(a + b – c) ≤ (-a + b – c + a + b – c) / 2 = b (3)
(1)*(2)*(3) ta có:
(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) ≤ abc (đpcm)
Dấu “=” khi a = b = c
*còn một cách khác là đặt ẩn phụ:
a + b - c = x (1)
a - b + c = y (2)
-a + b + c =z (3)
lần lượt lấy (1) +(2), (1) + (3), (2) + (3) ta tính được a, b, c theo x, y, z. rồi thay vào bđt cần cm, biến đổi đôi chút là xong.

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài 2: Cho a + b + c > 0; abc > 0; ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0.
Bài 3: Chứng minh rằng

(a, b, c > 0)

Bài 4: Chứng minh rằng (a + b) (b + c) (c + a)

8abc (a, b, c

0)

Bài 5: Chứng minh rằng

(a, b, c, d

0)
Bài 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn

.
Chứng minh

.
Bài 8: Cho x, y, z > 0; x+y+z = 1. Chứng minh rằng

1. xem lại đề
2.
Giả sử $a<0\Rightarrow bc<0\Rightarrow ab+bc+ca>0\Leftrightarrow a(b+c)>-bc>0$
Mà $a<0\Rightarrow b+c<0\Rightarrow a+b+c<0$ (trái vs gt) $\Rightarrow a>0$
cm tương tự ta có $b,c>0$
3.
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}
\\=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3
\\=\dfrac{1}{2}(a+b+b+c+c+a)(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b})-3
\\\geq \dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{b+c}.\dfrac{1}{c+a}.\dfrac{1}{a+b}}-3
\\=\dfrac{1}{2}.9-3=\dfrac{9}{2}-3=\dfrac 32=1,5$
4.
$a+b\geq 2\sqrt{ab};b+c\geq 2\sqrt{bc};c+a\geq 2\sqrt{ca}
\\\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc$
5.
$a^2+b^2+c^2+d^2\geq 4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4\sqrt{abcd}$
6. $\leq 1$ chứ nhỉ? ^^
$\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}
\\=\dfrac{1}{z+x+x+y}+\dfrac{1}{x+y+y+z}+\dfrac{1}{y+z+z+x}
\\\leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x})
\\=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x})
\\\leq \dfrac{1}{8}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x})
\\=\dfrac{1}{8}.8=1$
8.
$\dfrac{3}{xy+yz+xz}+\dfrac{2}{z^2+y^2+z^2}
\\=\dfrac{6}{2xy+2yz+2zx}+\dfrac{2}{x^2+y^2+z^2}
\\\geq \dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}
\\=\dfrac{8+4\sqrt 3}{(x+y+z)^2}
\\=\dfrac{8+4\sqrt 3}{1}=8+4\sqrt 3>14$

 

[Quốc Trường]

Bài 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn

.
Chứng minh

[tex]\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{(x+y)+(x+z))}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/tex]
[tex]\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{(x+y)+(y+z)}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z})[/tex]
[tex]\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z})[/tex]
Cộng cả 2 vế ta được:
[tex]\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\leq 1[/tex]