Toán Bất đẳng thức 9

[linhtrangnguyen08]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng : [tex]a=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2+1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3+2}+...+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{25+24}<\frac{2}{5}[/tex]

 

[iceghost]

Nhận xét: Theo bđt AM-GM ta có $$\dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(n+1) + n} \leqslant \dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{2\sqrt{(n+1) \cdot n}} = \dfrac12 ( \dfrac1{\sqrt{n}} - \dfrac1{\sqrt{n+1}})$$
Dấu '=' không xảy ra. Thay $n = 1;2;3;...;24$ rồi cộng các bđt lại với nhau ta được
$$a < \dfrac12 ( \dfrac1{\sqrt{1}} - \dfrac1{\sqrt{25}}) = \dfrac25$$