Toán Bất đẳng thức 9

[thanhhuyenta]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.cho a+b+c=12. CMR
[tex]\frac{ab}{c+12}+\frac{ac}{b+12}+\frac{bc}{a+12}\leq 3[/tex]
2.Cho
[tex]x^2+y^2+z^2=3xyz[/tex]
CMR:
[tex]\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\leq \frac{3}{2}[/tex]
3.Tìm các số thực x,y,z thỏa mãn
[tex]x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}=3[/tex]

 

[quynhphamdq]

BÀi 3 : ĐKXĐ :[tex]0<y^2 \leq 1 , 0<z^2 \leq 2 ,0< x^2 \leq 3[/tex]
Áp dụng bđ t cô si cho $x^2$ và $1-y^2$ ta được :
[tex]\frac{x^2 +1- y^2}{2} \geq x\sqrt{1-y^2}[/tex]
(Dấu (=) xr khi $x^2 +y^2 =1$ )
Tg tự : => [tex]\frac{y^2 +2- z^2}{2} \geq y\sqrt{2-z^2}[/tex] (Dấu (=) xr khi $y^2 +z^2 =2$)
[tex]\frac{z^2 +3-x^2}{2} \geq z\sqrt{3-x^2}[/tex](Dấu (=) xr khi $z^2 +x^2 =3$)
=> [tex]x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}\leq 3[/tex]
Dấu = xr khi $x^2 +y^2 =1$, $y^2 +z^2 =2$,$z^2 +x^2 =3$ (đến đây bạn tự giải ra thôi )

 

[minhmai2002]

1.cho a+b+c=12. CMR
[tex]\dfrac{ab}{c+12}+\dfrac{ac}{b+12}+\frac{bc}{a+12}\leq 3[/tex]

Ta có: $\dfrac{ab}{c+12}+\dfrac{ac}{b+12}+\frac{bc}{a+12}=\dfrac{ab}{(c+a)+(b+c)}+\dfrac{ac}{(b+a)+(c+b)}+\dfrac{bc}{(a+b)+(a+c)}$

Áp dụng BĐT $\dfrac{4}{a+b} \leqslant \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ ( Theo Schwarz) ta có:

$\dfrac{ab}{(c+a)+(b+c)} \leqslant \dfrac{ab}{4}(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c})$

TT: $\dfrac{ac}{(b+a)+(c+b)} \leqslant \dfrac{ac}{4}(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+b}$

$\dfrac{bc}{(a+b)+(a+c)} \leqslant \dfrac{bc}{4}(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c})$

$\rightarrow \dfrac{ab}{c+12}+\dfrac{ac}{b+12}+\dfrac{bc}{a+12} \leqslant \dfrac{1}{4}(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ac}{a+b}+\dfrac{ac}{c+b}+\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c})$

$\leqslant \dfrac{1}{4}(a+b+c)=3$

Dấu "=" $\leftrightarrow a=b=c=4$

 

[leminhnghia1]

2.Cho
[tex]x^2+y^2+z^2=3xyz[/tex]
CMR:
[tex]\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\leq \frac{3}{2}[/tex]

$\dfrac{x^2}{x^4+yz} \leq \dfrac{x^2}{2\sqrt{x^4yz}}=\dfrac{1}{2\sqrt{yz}} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})$
Thiết lập các bđt TT rồi cộng vào ta có:
$A=\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy} \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$
$=\dfrac{(xy+yz+zx)}{2xyz}=\dfrac{(xy+yz+zx)}{\dfrac{2(x^2+y^2+z^2)}{3}} \leq \dfrac{x^2+y^2+z^2}{\dfrac{2(x^2+y^2+z^2)}{3}}=\dfrac{3}{2}$
Dấu "=" $\iff x=y=z=1$