Bất đẳng thức 9

[oneclicklogin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. C/mR: [tex]a^2+b^2+c^2+2abc<2[/tex]
2) Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1[/tex]
C/mR:[tex]x+2y+z\geq4(1-x)(1-y)(1-z)[/tex]
3) Cho phương trình bậc 2 [tex]x^2+mx+n=0[/tex] có 2 nghiệm.CmR: [tex]x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\geq1[/tex] biết [tex]n \leq m-1[/tex]
4) Cho a,b>0; ab=1. C/mR:
[tex]a+b+\frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}[/tex]
5) C/mR với a,b,c >0 thì
[tex]\frac{ a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}[/tex]
6) Cho [tex]x^5+y^5=x-y[/tex], x>y>0
CmR:[tex]x^4+y^4<1[/tex]
7)Cho x,y,z>0 thõa x+y+z=1.CmR:
[tex]17(x+y+z)+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \geq 35[/tex]
8) Cho x,y,z>0 và [tex]\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{y}-\frac{1}{z}[/tex]
CmR: [tex]\frac{x+y}{2x-y}+\frac{y+z}{2z-y}\geq4[/tex]

 

[vipboycodon]

Bài 17:
$17(x+y+z)+2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}) \ge 17+2(\dfrac{9}{x+y+z}) = 35$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = z = \dfrac{1}{3}$

 

[eye_smile]

1.Từ giả thiết suy ra a;b;c<1
Ta có:
$(1-a)(1-b)(1-c)>0$
\Leftrightarrow $1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc>0$
\Leftrightarrow $2(a+b+c)-2(ab+bc+ca)+2abc<2$
\Leftrightarrow ${(a+b+c)^2}-2ab-2bc-2ca+2abc<2$
\Leftrightarrow ${a^2}+{b^2}+{c^2}+2abc<2$

 

[kienthuc_toanhoc]

4) Cho a,b>0; ab=1. C/mR:
[tex]a+b+\frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}[/tex]
Ta có [tex]a+b+\frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}[/tex]=a+b+$\dfrac{4}{a+b}$-$\dfrac{3}{a+b}$
Sử dụng BĐT với 2 số cho a+b+$\dfrac{4}{a+b}$ và a+b ta được
a+b+$\dfrac{4}{a+b}$-$\dfrac{3}{a+b}$\geq4-$\dfrac{3}{a+b}$ \geq4-$\dfrac{3}{2}$=$\dfrac{5}{2}$
\Rightarrow[tex]a+b+\frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1.

 

[eye_smile]

2.Ta có:
$4(1-x)(1-y)(1-z)$ \leq $(1-y){(1-x+1-z)^2}=(1-y){(y+1)^2}=(1-{y^2})(y+1)=(1-{y^2})(x+2y+z)$ \leq $x+2y+z$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow ......................

 

[pandahieu]

Xem tại đây

 

[hien_vuthithanh]

bai 8

$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}$
\Leftrightarrow $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{y}$
\Leftrightarrow $\dfrac{x+z}{xz}=\dfrac{2}{y}$ \Leftrightarrow xy+yz=2xz
+/ 2xz-xy=yz \Rightarrow x(2z-y)=yz
\Leftrightarrow $\dfrac{y}{2z-y}=\dfrac{x}{z} ;\dfrac{z}{2z-y}=\dfrac{x}{y}$
\Rightarrow $\dfrac{y+z}{2z-y}=\dfrac{x}{z}+\dfrac{x}{y}$
+/ 2xz-yz=xy \Leftrightarrow z(2x-y)=xy
\Leftrightarrow $\frac{x}{2x-y}=\dfrac{z}{y};\dfrac{y}{2x-y}=\dfrac{z}{x}$
\Rightarrow $\dfrac{x+y}{2x-y}=\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}$
\Rightarrow $\dfrac{x+y}{2x-y}+\dfrac{y+z}{2z-y}=\dfrac{x}{z}+
\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}$ (1)
Mà $\dfrac{2}{y}$=$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}$\geq 2$\sqrt{\dfrac{1}{xz}}$
\Rightarrow $\dfrac{1}{y^2}$ \geq $\dfrac{1}{xz}$
\Rightarrow $y^2$\leqxz \Rightarrow $\dfrac{xz}{y^2}$\geq 1
\Rightarrow $\dfrac{2xz}{y^2}$\geq 2
\Leftrightarrow $\dfrac{xz+yz}{y^2}$\geq2
\Leftrightarrow $\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{y}$\geq 2 ,
mà $\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}$\geq 2 (2)
Từ (1)và (2) \Rightarrow $\dfrac{x+y}{2x-y}+\dfrac{y+z}{2z-y}$\geq 4.

 

[hien_vuthithanh]

bai 3

$Delta$=$b^4$-4ac=$m^2$-4n
Vì phương trình có 2 nghiệm nên có :$ x_1=\dfrac{-m+\sqrt{m^2-4n}}{2}$
$ x_2=\dfrac{-m-\sqrt{m^2-4n}}{2}$
\Rightarrow $ x_1^2+x_2^2$=2 $\dfrac{2(2m^2-4n)}{4}$=$m^2$-2n
Vì n\leq m-1 \Rightarrow m\geq n+1 \Rightarrow $m^2$-2n\geq $(n+1)^2$-2n=$n^2$+1\geq1
\Rightarrow $ x_1^2+x_2^2$ \geq 1