Bất đẳng thức 8, vân dụng cô-sin ???

[neverquit]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CHo a,b,c,d là số dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{(b+c)} + \frac{b}{(c+d)} + \frac{c}{(d+a)} + \frac{d}{(a+b)} \geq 2[/TEX]

Chú ý latex

 

[khanh_ndd]

Theo bài ra ta có a,b,c,d >0
a>0 \Rightarrow a+b >b
b>0 \Rightarrow b+c>c
c>0 \Rightarrow c+d>d
d>0 \Rightarrow d+a>a
[TEX]\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}> \frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b} \geq 2\sqrt{\frac{abcd}{cdab}}=2.1=2[/TEX]

ôi trời!!! không biết bạn nghĩ thế nào chứ ...:khi (163)::khi (163)::khi (163):
Lời giải bằng Cosi đây
Đăt [TEX]S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}[/TEX]
[TEX]M=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}[/TEX]
[TEX]N=\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}[/TEX]
dễ thấy [TEX]M+N=4[/TEX] Áp dụng bdt Cosi
[TEX]M+S=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\geq 4[/TEX]
[TEX]N+S=\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{d+a}+\frac{b+d}{a+b}=\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+d}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{b+d}{a+b}\geq \frac{4(a+c)}{a+b+c+d}+\frac{4(b+d)}{a+b+c+d}=4[/tex]
[TEX]\Rightarrow M+N+2S\geq 8[/TEX] nên [TEX]S\geq 2[/TEX]
dấu = khi a=b=c=d
p/s: bài này làm bằng cách # sẽ ngắn gọn hơn nhiều Cosi

 

[neverquit]

ôi trời!!! không biết bạn nghĩ thế nào chứ ...:khi (163)::khi (163)::khi (163):
Lời giải bằng Cosi đây
Đăt [TEX]S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}[/TEX]
[TEX]M=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}[/TEX]
[TEX]N=\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}[/TEX]
dễ thấy [TEX]M+N=4[/TEX] Áp dụng bdt Cosi
[TEX]M+S=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\geq 4[/TEX]
[TEX]N+S=\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{d+a}+\frac{b+d}{a+b}=\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+d}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{b+d}{a+b}\geq \frac{4(a+c)}{a+b+c+d}+\frac{4(b+d)}{a+b+c+d}=4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M+N+2S\geq 8[/TEX] nên [TEX]S\geq 2[/TEX]
dấu = khi a=b=c=d
p/s: bài này làm bằng cách # sẽ ngắn gọn hơn nhiều Cosi

Bạn có thể làm bài này bằng cách khác được không ? Làm giùm mình luôn nhé Thanks nhiều

 

[khanh_ndd]

Bạn có thể làm bài này bằng cách khác được không ? Làm giùm mình luôn nhé Thanks nhiều

Ok!!!
Áp dụng bdt Cauchy-Schwarz (nếu chưa biết thì google )
[TEX]VT=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{da+db}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2(ac+bd)}[/TEX]
ta cần cm [TEX]\frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2(ac+bd)}\geq 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c+d)^2\geq 2(ab+bc+cd+da)+4(ac+bd)[/TEX]
khai triển ra thì [TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2(ac+bd)\Leftrightarrow (a-c)^2+(b-d)^2\geq 0[/TEX](luôn đúng)

 

[congchuahht]

Ai cho tớ biết cosin là gì và chỉ rõ cách áp dụng cho mình dược ko [YOUTUBE]ONyXSnL2LtA&feature[/YOUTUBE]